Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60659 / 55893
↖ ↑ ↗
← N 25.589517°
W 13.395081°		 ← 275.47 m → N 25.589517°
W 13.392334°		 →
↑
275.48 m
↓
↑
275.48 m
↓
N 25.587040°
W 13.395081°		 ← 275.47 m →
75 887 m²		 N 25.587040°
W 13.392334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462795257568359 y=0.426433563232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462795257568359 × 217)
    floor (0.462795257568359 × 131072)
    floor (60659.5)     		tx = 60659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426433563232422 × 217)
    floor (0.426433563232422 × 131072)
    floor (55893.5)     		ty = 55893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60659 / 55893 ti = "17/60659/55893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60659/55893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60659 ÷ 217
    60659 ÷ 131072     		x = 0.462791442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55893 ÷ 217
    55893 ÷ 131072     		y = 0.426429748535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462791442871094 × 2 - 1) × π
    -0.0744171142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23378826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426429748535156 × 2 - 1) × π
    0.147140502929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.462255523036201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23378826} λ = -0.23378826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462255523036201))-π/2
    2×atan(1.58765093278631)-π/2
    2×1.0087088264915-π/2
    2.01741765298301-1.57079632675     		φ = 0.44662133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23378826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.395081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44662133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.589517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60659 KachelY 55893 -0.23378826 0.44662133 -13.395081 25.589517
    Oben rechts KachelX + 1 60660 KachelY 55893 -0.23374032 0.44662133 -13.392334 25.589517
    Unten links KachelX 60659 KachelY + 1 55894 -0.23378826 0.44657809 -13.395081 25.587040
    Unten rechts KachelX + 1 60660 KachelY + 1 55894 -0.23374032 0.44657809 -13.392334 25.587040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44662133-0.44657809) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dl = 275.48204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44662133-0.44657809) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dr = 275.48204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23378826--0.23374032) × cos(0.44662133) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.901911565075814 × 6371000     		do = 275.467007177818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23378826--0.23374032) × cos(0.44657809) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.901930240485613 × 6371000     		du = 275.472711128675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44662133)-sin(0.44657809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901911565075814-0.901930240485613)×R²
    abs(-0.23374032--0.23378826)×1.86754097980524e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86754097980524e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86754097980524e-05×40589641000000     		ar = 75886.9987699173m²