Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60659 / 33845
↖ ↑ ↗
← N 65.306093°
W 13.395081°		 ← 127.60 m → N 65.306093°
W 13.392334°		 →
↑
127.61 m
↓
↑
127.61 m
↓
N 65.304945°
W 13.395081°		 ← 127.60 m →
16 283 m²		 N 65.304945°
W 13.392334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462795257568359 y=0.258220672607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462795257568359 × 217)
    floor (0.462795257568359 × 131072)
    floor (60659.5)     		tx = 60659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258220672607422 × 217)
    floor (0.258220672607422 × 131072)
    floor (33845.5)     		ty = 33845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60659 / 33845 ti = "17/60659/33845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60659/33845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60659 ÷ 217
    60659 ÷ 131072     		x = 0.462791442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33845 ÷ 217
    33845 ÷ 131072     		y = 0.258216857910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462791442871094 × 2 - 1) × π
    -0.0744171142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23378826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258216857910156 × 2 - 1) × π
    0.483566284179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.5191682858592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23378826} λ = -0.23378826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5191682858592))-π/2
    2×atan(4.56842399176886)-π/2
    2×1.35530133277747-π/2
    2.71060266555494-1.57079632675     		φ = 1.13980634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23378826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.395081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13980634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.306093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60659 KachelY 33845 -0.23378826 1.13980634 -13.395081 65.306093
    Oben rechts KachelX + 1 60660 KachelY 33845 -0.23374032 1.13980634 -13.392334 65.306093
    Unten links KachelX 60659 KachelY + 1 33846 -0.23378826 1.13978631 -13.395081 65.304945
    Unten rechts KachelX + 1 60660 KachelY + 1 33846 -0.23374032 1.13978631 -13.392334 65.304945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13980634-1.13978631) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dl = 127.611129999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13980634-1.13978631) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dr = 127.611129999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23378826--0.23374032) × cos(1.13980634) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417770462089343 × 6371000     		do = 127.59785253377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23378826--0.23374032) × cos(1.13978631) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.41778866031427 × 6371000     		du = 127.603410740085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13980634)-sin(1.13978631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417770462089343-0.41778866031427)×R²
    abs(-0.23374032--0.23378826)×1.81982249265467e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81982249265467e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81982249265467e-05×40589641000000     		ar = 16283.2607921985m²