Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60659 / 26356
↖ ↑ ↗
← N 72.616970°
W 13.395081°		 ← 91.25 m → N 72.616970°
W 13.392334°		 →
↑
91.23 m
↓
↑
91.23 m
↓
N 72.616150°
W 13.395081°		 ← 91.25 m →
8 325 m²		 N 72.616150°
W 13.392334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462795257568359 y=0.201084136962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462795257568359 × 217)
    floor (0.462795257568359 × 131072)
    floor (60659.5)     		tx = 60659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201084136962891 × 217)
    floor (0.201084136962891 × 131072)
    floor (26356.5)     		ty = 26356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60659 / 26356 ti = "17/60659/26356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60659/26356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60659 ÷ 217
    60659 ÷ 131072     		x = 0.462791442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26356 ÷ 217
    26356 ÷ 131072     		y = 0.201080322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462791442871094 × 2 - 1) × π
    -0.0744171142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23378826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201080322265625 × 2 - 1) × π
    0.59783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8781677271138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23378826} λ = -0.23378826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8781677271138))-π/2
    2×atan(6.54150804699851)-π/2
    2×1.41910077190533-π/2
    2.83820154381065-1.57079632675     		φ = 1.26740522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23378826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.395081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26740522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.616970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60659 KachelY 26356 -0.23378826 1.26740522 -13.395081 72.616970
    Oben rechts KachelX + 1 60660 KachelY 26356 -0.23374032 1.26740522 -13.392334 72.616970
    Unten links KachelX 60659 KachelY + 1 26357 -0.23378826 1.26739090 -13.395081 72.616150
    Unten rechts KachelX + 1 60660 KachelY + 1 26357 -0.23374032 1.26739090 -13.392334 72.616150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26740522-1.26739090) × R
    1.43200000000121e-05 × 6371000     		dl = 91.2327200000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26740522-1.26739090) × R
    1.43200000000121e-05 × 6371000     		dr = 91.2327200000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23378826--0.23374032) × cos(1.26740522) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298758149330679 × 6371000     		do = 91.2484288403461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23378826--0.23374032) × cos(1.26739090) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298771815289286 × 6371000     		du = 91.2526027758664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26740522)-sin(1.26739090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298758149330679-0.298771815289286)×R²
    abs(-0.23374032--0.23378826)×1.36659586065235e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.36659586065235e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.36659586065235e-05×40589641000000     		ar = 8325.03275870742m²