Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60658 / 82826
↖ ↑ ↗
← S 42.831667°
W 13.397827°		 ← 223.99 m → S 42.831667°
W 13.395081°		 →
↑
223.94 m
↓
↑
223.94 m
↓
S 42.833681°
W 13.397827°		 ← 223.98 m →
50 159 m²		 S 42.833681°
W 13.395081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462787628173828 y=0.631916046142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462787628173828 × 217)
    floor (0.462787628173828 × 131072)
    floor (60658.5)     		tx = 60658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631916046142578 × 217)
    floor (0.631916046142578 × 131072)
    floor (82826.5)     		ty = 82826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60658 / 82826 ti = "17/60658/82826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60658/82826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60658 ÷ 217
    60658 ÷ 131072     		x = 0.462783813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82826 ÷ 217
    82826 ÷ 131072     		y = 0.631912231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462783813476562 × 2 - 1) × π
    -0.074432373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23383620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631912231445312 × 2 - 1) × π
    -0.263824462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.828828994430771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23383620} λ = -0.23383620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.828828994430771))-π/2
    2×atan(0.436560201548182)-π/2
    2×0.411621355004092-π/2
    0.823242710008185-1.57079632675     		φ = -0.74755362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23383620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.397827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74755362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.831667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60658 KachelY 82826 -0.23383620 -0.74755362 -13.397827 -42.831667
    Oben rechts KachelX + 1 60659 KachelY 82826 -0.23378826 -0.74755362 -13.395081 -42.831667
    Unten links KachelX 60658 KachelY + 1 82827 -0.23383620 -0.74758877 -13.397827 -42.833681
    Unten rechts KachelX + 1 60659 KachelY + 1 82827 -0.23378826 -0.74758877 -13.395081 -42.833681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74755362--0.74758877) × R
    3.51499999999838e-05 × 6371000     		dl = 223.940649999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74755362--0.74758877) × R
    3.51499999999838e-05 × 6371000     		dr = 223.940649999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23383620--0.23378826) × cos(-0.74755362) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.73335422514468 × 6371000     		do = 223.985256896923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23383620--0.23378826) × cos(-0.74758877) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.73333032807898 × 6371000     		du = 223.977958117948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74755362)-sin(-0.74758877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73335422514468-0.73333032807898)×R²
    abs(-0.23378826--0.23383620)×2.38970657001625e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38970657001625e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38970657001625e-05×40589641000000     		ar = 50158.586778447m²