Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60658 / 78962
↖ ↑ ↗
← S 34.565383°
W 13.397827°		 ← 251.51 m → S 34.565383°
W 13.395081°		 →
↑
251.46 m
↓
↑
251.46 m
↓
S 34.567644°
W 13.397827°		 ← 251.50 m →
63 245 m²		 S 34.567644°
W 13.395081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462787628173828 y=0.602436065673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462787628173828 × 217)
    floor (0.462787628173828 × 131072)
    floor (60658.5)     		tx = 60658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602436065673828 × 217)
    floor (0.602436065673828 × 131072)
    floor (78962.5)     		ty = 78962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60658 / 78962 ti = "17/60658/78962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60658/78962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60658 ÷ 217
    60658 ÷ 131072     		x = 0.462783813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78962 ÷ 217
    78962 ÷ 131072     		y = 0.602432250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462783813476562 × 2 - 1) × π
    -0.074432373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23383620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602432250976562 × 2 - 1) × π
    -0.204864501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.643600814298874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23383620} λ = -0.23383620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.643600814298874))-π/2
    2×atan(0.525397156244376)-π/2
    2×0.483758293149807-π/2
    0.967516586299615-1.57079632675     		φ = -0.60327974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23383620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.397827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60327974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.565383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60658 KachelY 78962 -0.23383620 -0.60327974 -13.397827 -34.565383
    Oben rechts KachelX + 1 60659 KachelY 78962 -0.23378826 -0.60327974 -13.395081 -34.565383
    Unten links KachelX 60658 KachelY + 1 78963 -0.23383620 -0.60331921 -13.397827 -34.567644
    Unten rechts KachelX + 1 60659 KachelY + 1 78963 -0.23378826 -0.60331921 -13.395081 -34.567644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60327974--0.60331921) × R
    3.94700000000414e-05 × 6371000     		dl = 251.463370000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60327974--0.60331921) × R
    3.94700000000414e-05 × 6371000     		dr = 251.463370000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23383620--0.23378826) × cos(-0.60327974) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.82347929878646 × 6371000     		do = 251.511774206516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23383620--0.23378826) × cos(-0.60331921) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.823456904985856 × 6371000     		du = 251.504934563395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60327974)-sin(-0.60331921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82347929878646-0.823456904985856)×R²
    abs(-0.23378826--0.23383620)×2.23938006043145e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23938006043145e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23938006043145e-05×40589641000000     		ar = 63245.1383851202m²