Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60658 / 40815
↖ ↑ ↗
← N 55.999917°
W 13.397827°		 ← 170.79 m → N 55.999917°
W 13.395081°		 →
↑
170.81 m
↓
↑
170.81 m
↓
N 55.998381°
W 13.397827°		 ← 170.80 m →
29 173 m²		 N 55.998381°
W 13.395081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462787628173828 y=0.311397552490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462787628173828 × 217)
    floor (0.462787628173828 × 131072)
    floor (60658.5)     		tx = 60658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311397552490234 × 217)
    floor (0.311397552490234 × 131072)
    floor (40815.5)     		ty = 40815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60658 / 40815 ti = "17/60658/40815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60658/40815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60658 ÷ 217
    60658 ÷ 131072     		x = 0.462783813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40815 ÷ 217
    40815 ÷ 131072     		y = 0.311393737792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462783813476562 × 2 - 1) × π
    -0.074432373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23383620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311393737792969 × 2 - 1) × π
    0.377212524414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.18504809550741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23383620} λ = -0.23383620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18504809550741))-π/2
    2×atan(3.2708441305911)-π/2
    2×1.27408962839874-π/2
    2.54817925679748-1.57079632675     		φ = 0.97738293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23383620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.397827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97738293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.999917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60658 KachelY 40815 -0.23383620 0.97738293 -13.397827 55.999917
    Oben rechts KachelX + 1 60659 KachelY 40815 -0.23378826 0.97738293 -13.395081 55.999917
    Unten links KachelX 60658 KachelY + 1 40816 -0.23383620 0.97735612 -13.397827 55.998381
    Unten rechts KachelX + 1 60659 KachelY + 1 40816 -0.23378826 0.97735612 -13.395081 55.998381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97738293-0.97735612) × R
    2.68099999999327e-05 × 6371000     		dl = 170.806509999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97738293-0.97735612) × R
    2.68099999999327e-05 × 6371000     		dr = 170.806509999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23383620--0.23378826) × cos(0.97738293) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559194106500528 × 6371000     		do = 170.792273781549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23383620--0.23378826) × cos(0.97735612) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559216332775123 × 6371000     		du = 170.799062257915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97738293)-sin(0.97735612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559194106500528-0.559216332775123)×R²
    abs(-0.23378826--0.23383620)×2.22262745946944e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22262745946944e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22262745946944e-05×40589641000000     		ar = 29173.0119792482m²