Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60657 / 41166
↖ ↑ ↗
← N 55.457056°
W 13.400574°		 ← 173.15 m → N 55.457056°
W 13.397827°		 →
↑
173.16 m
↓
↑
173.16 m
↓
N 55.455499°
W 13.400574°		 ← 173.15 m →
29 983 m²		 N 55.455499°
W 13.397827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462779998779297 y=0.314075469970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462779998779297 × 217)
    floor (0.462779998779297 × 131072)
    floor (60657.5)     		tx = 60657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314075469970703 × 217)
    floor (0.314075469970703 × 131072)
    floor (41166.5)     		ty = 41166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60657 / 41166 ti = "17/60657/41166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60657/41166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60657 ÷ 217
    60657 ÷ 131072     		x = 0.462776184082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41166 ÷ 217
    41166 ÷ 131072     		y = 0.314071655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462776184082031 × 2 - 1) × π
    -0.0744476318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23388413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314071655273438 × 2 - 1) × π
    0.371856689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16822224374077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23388413} λ = -0.23388413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16822224374077))-π/2
    2×atan(3.21626980935306)-π/2
    2×1.26935227552596-π/2
    2.53870455105191-1.57079632675     		φ = 0.96790822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23388413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.400574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96790822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.457056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60657 KachelY 41166 -0.23388413 0.96790822 -13.400574 55.457056
    Oben rechts KachelX + 1 60658 KachelY 41166 -0.23383620 0.96790822 -13.397827 55.457056
    Unten links KachelX 60657 KachelY + 1 41167 -0.23388413 0.96788104 -13.400574 55.455499
    Unten rechts KachelX + 1 60658 KachelY + 1 41167 -0.23383620 0.96788104 -13.397827 55.455499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96790822-0.96788104) × R
    2.71800000000155e-05 × 6371000     		dl = 173.163780000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96790822-0.96788104) × R
    2.71800000000155e-05 × 6371000     		dr = 173.163780000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23388413--0.23383620) × cos(0.96790822) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.56702377259357 × 6371000     		do = 173.147530257437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23388413--0.23383620) × cos(0.96788104) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.567046160588916 × 6371000     		du = 173.154366701143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96790822)-sin(0.96788104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56702377259357-0.567046160588916)×R²
    abs(-0.23383620--0.23388413)×2.23879953458184e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23879953458184e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23879953458184e-05×40589641000000     		ar = 29983.4727511096m²