Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60655 / 56176
↖ ↑ ↗
← N 24.886437°
W 13.406067°		 ← 277.07 m → N 24.886437°
W 13.403320°		 →
↑
277.07 m
↓
↑
277.07 m
↓
N 24.883945°
W 13.406067°		 ← 277.07 m →
76 769 m²		 N 24.883945°
W 13.403320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462764739990234 y=0.428592681884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462764739990234 × 217)
    floor (0.462764739990234 × 131072)
    floor (60655.5)     		tx = 60655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428592681884766 × 217)
    floor (0.428592681884766 × 131072)
    floor (56176.5)     		ty = 56176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60655 / 56176 ti = "17/60655/56176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60655/56176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60655 ÷ 217
    60655 ÷ 131072     		x = 0.462760925292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56176 ÷ 217
    56176 ÷ 131072     		y = 0.4285888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462760925292969 × 2 - 1) × π
    -0.0744781494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23398001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4285888671875 × 2 - 1) × π
    0.142822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.448689380443726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23398001} λ = -0.23398001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.448689380443726))-π/2
    2×atan(1.56625807124471)-π/2
    2×1.00257329131799-π/2
    2.00514658263597-1.57079632675     		φ = 0.43435026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23398001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.406067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43435026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.886437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60655 KachelY 56176 -0.23398001 0.43435026 -13.406067 24.886437
    Oben rechts KachelX + 1 60656 KachelY 56176 -0.23393207 0.43435026 -13.403320 24.886437
    Unten links KachelX 60655 KachelY + 1 56177 -0.23398001 0.43430677 -13.406067 24.883945
    Unten rechts KachelX + 1 60656 KachelY + 1 56177 -0.23393207 0.43430677 -13.403320 24.883945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43435026-0.43430677) × R
    4.34899999999794e-05 × 6371000     		dl = 277.074789999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43435026-0.43430677) × R
    4.34899999999794e-05 × 6371000     		dr = 277.074789999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23398001--0.23393207) × cos(0.43435026) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.907143658051196 × 6371000     		do = 277.065023046572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23398001--0.23393207) × cos(0.43430677) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.907161958702201 × 6371000     		du = 277.070612536448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43435026)-sin(0.43430677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907143658051196-0.907161958702201)×R²
    abs(-0.23393207--0.23398001)×1.83006510047212e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83006510047212e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83006510047212e-05×40589641000000     		ar = 76768.5074423762m²