Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60654 / 40826
↖ ↑ ↗
← N 55.983019°
W 13.408813°		 ← 170.83 m → N 55.983019°
W 13.406067°		 →
↑
170.87 m
↓
↑
170.87 m
↓
N 55.981482°
W 13.408813°		 ← 170.84 m →
29 191 m²		 N 55.981482°
W 13.406067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462757110595703 y=0.311481475830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462757110595703 × 217)
    floor (0.462757110595703 × 131072)
    floor (60654.5)     		tx = 60654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311481475830078 × 217)
    floor (0.311481475830078 × 131072)
    floor (40826.5)     		ty = 40826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60654 / 40826 ti = "17/60654/40826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60654/40826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60654 ÷ 217
    60654 ÷ 131072     		x = 0.462753295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40826 ÷ 217
    40826 ÷ 131072     		y = 0.311477661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462753295898438 × 2 - 1) × π
    -0.074493408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23402794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311477661132812 × 2 - 1) × π
    0.377044677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18452078961159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23402794} λ = -0.23402794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18452078961159))-π/2
    2×atan(3.26911984984839)-π/2
    2×1.2739421629959-π/2
    2.5478843259918-1.57079632675     		φ = 0.97708800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23402794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.408813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97708800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.983019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60654 KachelY 40826 -0.23402794 0.97708800 -13.408813 55.983019
    Oben rechts KachelX + 1 60655 KachelY 40826 -0.23398001 0.97708800 -13.406067 55.983019
    Unten links KachelX 60654 KachelY + 1 40827 -0.23402794 0.97706118 -13.408813 55.981482
    Unten rechts KachelX + 1 60655 KachelY + 1 40827 -0.23398001 0.97706118 -13.406067 55.981482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97708800-0.97706118) × R
    2.6819999999983e-05 × 6371000     		dl = 170.870219999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97708800-0.97706118) × R
    2.6819999999983e-05 × 6371000     		dr = 170.870219999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23402794--0.23398001) × cos(0.97708800) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.559438589988547 × 6371000     		do = 170.831303499246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23402794--0.23398001) × cos(0.97706118) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.559460820129066 × 6371000     		du = 170.838091740082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97708800)-sin(0.97706118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559438589988547-0.559460820129066)×R²
    abs(-0.23398001--0.23402794)×2.22301405194969e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22301405194969e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22301405194969e-05×40589641000000     		ar = 29190.5623676884m²