Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60654 / 33929
↖ ↑ ↗
← N 65.209531°
W 13.408813°		 ← 128.04 m → N 65.209531°
W 13.406067°		 →
↑
128.06 m
↓
↑
128.06 m
↓
N 65.208379°
W 13.408813°		 ← 128.04 m →
16 397 m²		 N 65.208379°
W 13.406067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462757110595703 y=0.258861541748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462757110595703 × 217)
    floor (0.462757110595703 × 131072)
    floor (60654.5)     		tx = 60654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258861541748047 × 217)
    floor (0.258861541748047 × 131072)
    floor (33929.5)     		ty = 33929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60654 / 33929 ti = "17/60654/33929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60654/33929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60654 ÷ 217
    60654 ÷ 131072     		x = 0.462753295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33929 ÷ 217
    33929 ÷ 131072     		y = 0.258857727050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462753295898438 × 2 - 1) × π
    -0.074493408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23402794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258857727050781 × 2 - 1) × π
    0.482284545898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.51514158629111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23402794} λ = -0.23402794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51514158629111))-π/2
    2×atan(4.55006530811226)-π/2
    2×1.35445867462414-π/2
    2.70891734924829-1.57079632675     		φ = 1.13812102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23402794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.408813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13812102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.209531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60654 KachelY 33929 -0.23402794 1.13812102 -13.408813 65.209531
    Oben rechts KachelX + 1 60655 KachelY 33929 -0.23398001 1.13812102 -13.406067 65.209531
    Unten links KachelX 60654 KachelY + 1 33930 -0.23402794 1.13810092 -13.408813 65.208379
    Unten rechts KachelX + 1 60655 KachelY + 1 33930 -0.23398001 1.13810092 -13.406067 65.208379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13812102-1.13810092) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dl = 128.057099999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13812102-1.13810092) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dr = 128.057099999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23402794--0.23398001) × cos(1.13812102) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.419301069948037 × 6371000     		do = 128.038625900509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23402794--0.23398001) × cos(1.13810092) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.419319317592876 × 6371000     		du = 128.044198038379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13812102)-sin(1.13810092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419301069948037-0.419319317592876)×R²
    abs(-0.23398001--0.23402794)×1.82476448391533e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.82476448391533e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.82476448391533e-05×40589641000000     		ar = 16396.6118973226m²