Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60653 / 26914
↖ ↑ ↗
← N 72.153206°
W 13.411560°		 ← 93.60 m → N 72.153206°
W 13.408813°		 →
↑
93.59 m
↓
↑
93.59 m
↓
N 72.152364°
W 13.411560°		 ← 93.61 m →
8 761 m²		 N 72.152364°
W 13.408813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462749481201172 y=0.205341339111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462749481201172 × 217)
    floor (0.462749481201172 × 131072)
    floor (60653.5)     		tx = 60653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205341339111328 × 217)
    floor (0.205341339111328 × 131072)
    floor (26914.5)     		ty = 26914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60653 / 26914 ti = "17/60653/26914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60653/26914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60653 ÷ 217
    60653 ÷ 131072     		x = 0.462745666503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26914 ÷ 217
    26914 ÷ 131072     		y = 0.205337524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462745666503906 × 2 - 1) × π
    -0.0745086669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23407588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205337524414062 × 2 - 1) × π
    0.589324951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.85141893712581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23407588} λ = -0.23407588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85141893712581))-π/2
    2×atan(6.36885011204004)-π/2
    2×1.41505367001793-π/2
    2.83010734003586-1.57079632675     		φ = 1.25931101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23407588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.411560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25931101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.153206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60653 KachelY 26914 -0.23407588 1.25931101 -13.411560 72.153206
    Oben rechts KachelX + 1 60654 KachelY 26914 -0.23402794 1.25931101 -13.408813 72.153206
    Unten links KachelX 60653 KachelY + 1 26915 -0.23407588 1.25929632 -13.411560 72.152364
    Unten rechts KachelX + 1 60654 KachelY + 1 26915 -0.23402794 1.25929632 -13.408813 72.152364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25931101-1.25929632) × R
    1.46899999999839e-05 × 6371000     		dl = 93.5899899998973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25931101-1.25929632) × R
    1.46899999999839e-05 × 6371000     		dr = 93.5899899998973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23407588--0.23402794) × cos(1.25931101) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.306472816464098 × 6371000     		do = 93.604686758424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23407588--0.23402794) × cos(1.25929632) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.306486799539574 × 6371000     		du = 93.608957549599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25931101)-sin(1.25929632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306472816464098-0.306486799539574)×R²
    abs(-0.23402794--0.23407588)×1.39830754767867e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.39830754767867e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.39830754767867e-05×40589641000000     		ar = 8760.6615495506m²