Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60652 / 41370
↖ ↑ ↗
← N 55.138070°
W 13.414307°		 ← 174.58 m → N 55.138070°
W 13.411560°		 →
↑
174.57 m
↓
↑
174.57 m
↓
N 55.136500°
W 13.414307°		 ← 174.59 m →
30 477 m²		 N 55.136500°
W 13.411560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462741851806641 y=0.315631866455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462741851806641 × 217)
    floor (0.462741851806641 × 131072)
    floor (60652.5)     		tx = 60652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315631866455078 × 217)
    floor (0.315631866455078 × 131072)
    floor (41370.5)     		ty = 41370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60652 / 41370 ti = "17/60652/41370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60652/41370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60652 ÷ 217
    60652 ÷ 131072     		x = 0.462738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41370 ÷ 217
    41370 ÷ 131072     		y = 0.315628051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.07452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23412382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315628051757812 × 2 - 1) × π
    0.368743896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15844311621828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23412382} λ = -0.23412382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15844311621828))-π/2
    2×atan(3.18497078474736)-π/2
    2×1.26656859460994-π/2
    2.53313718921987-1.57079632675     		φ = 0.96234086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23412382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.414307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96234086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.138070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60652 KachelY 41370 -0.23412382 0.96234086 -13.414307 55.138070
    Oben rechts KachelX + 1 60653 KachelY 41370 -0.23407588 0.96234086 -13.411560 55.138070
    Unten links KachelX 60652 KachelY + 1 41371 -0.23412382 0.96231346 -13.414307 55.136500
    Unten rechts KachelX + 1 60653 KachelY + 1 41371 -0.23407588 0.96231346 -13.411560 55.136500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96234086-0.96231346) × R
    2.74000000000107e-05 × 6371000     		dl = 174.565400000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96234086-0.96231346) × R
    2.74000000000107e-05 × 6371000     		dr = 174.565400000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23412382--0.23407588) × cos(0.96234086) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.571600803712519 × 6371000     		do = 174.581598458579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23412382--0.23407588) × cos(0.96231346) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.571623286070711 × 6371000     		du = 174.588465149466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96234086)-sin(0.96231346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571600803712519-0.571623286070711)×R²
    abs(-0.23407588--0.23412382)×2.24823581920219e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24823581920219e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24823581920219e-05×40589641000000     		ar = 30476.5059128013m²