Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60652 / 32878
↖ ↑ ↗
← N 66.392561°
W 13.414307°		 ← 122.31 m → N 66.392561°
W 13.411560°		 →
↑
122.26 m
↓
↑
122.26 m
↓
N 66.391462°
W 13.414307°		 ← 122.32 m →
14 954 m²		 N 66.391462°
W 13.411560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462741851806641 y=0.250843048095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462741851806641 × 217)
    floor (0.462741851806641 × 131072)
    floor (60652.5)     		tx = 60652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250843048095703 × 217)
    floor (0.250843048095703 × 131072)
    floor (32878.5)     		ty = 32878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60652 / 32878 ti = "17/60652/32878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60652/32878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60652 ÷ 217
    60652 ÷ 131072     		x = 0.462738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32878 ÷ 217
    32878 ÷ 131072     		y = 0.250839233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.07452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23412382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250839233398438 × 2 - 1) × π
    0.498321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56552326779179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23412382} λ = -0.23412382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56552326779179))-π/2
    2×atan(4.78517821053222)-π/2
    2×1.36478256066035-π/2
    2.72956512132071-1.57079632675     		φ = 1.15876879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23412382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.414307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15876879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.392561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60652 KachelY 32878 -0.23412382 1.15876879 -13.414307 66.392561
    Oben rechts KachelX + 1 60653 KachelY 32878 -0.23407588 1.15876879 -13.411560 66.392561
    Unten links KachelX 60652 KachelY + 1 32879 -0.23412382 1.15874960 -13.414307 66.391462
    Unten rechts KachelX + 1 60653 KachelY + 1 32879 -0.23407588 1.15874960 -13.411560 66.391462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15876879-1.15874960) × R
    1.91900000001688e-05 × 6371000     		dl = 122.259490001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15876879-1.15874960) × R
    1.91900000001688e-05 × 6371000     		dr = 122.259490001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23412382--0.23407588) × cos(1.15876879) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.400468003601664 × 6371000     		do = 122.313236346422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23412382--0.23407588) × cos(1.15874960) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.400485587531088 × 6371000     		du = 122.318606931079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15876879)-sin(1.15874960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400468003601664-0.400485587531088)×R²
    abs(-0.23407588--0.23412382)×1.75839294235813e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.75839294235813e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.75839294235813e-05×40589641000000     		ar = 14954.2821991397m²