Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60652 / 26964
↖ ↑ ↗
← N 72.111071°
W 13.414307°		 ← 93.82 m → N 72.111071°
W 13.411560°		 →
↑
93.84 m
↓
↑
93.84 m
↓
N 72.110227°
W 13.414307°		 ← 93.82 m →
8 805 m²		 N 72.110227°
W 13.411560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462741851806641 y=0.205722808837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462741851806641 × 217)
    floor (0.462741851806641 × 131072)
    floor (60652.5)     		tx = 60652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205722808837891 × 217)
    floor (0.205722808837891 × 131072)
    floor (26964.5)     		ty = 26964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60652 / 26964 ti = "17/60652/26964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60652/26964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60652 ÷ 217
    60652 ÷ 131072     		x = 0.462738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26964 ÷ 217
    26964 ÷ 131072     		y = 0.205718994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.07452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23412382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205718994140625 × 2 - 1) × π
    0.58856201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84902209214481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23412382} λ = -0.23412382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84902209214481))-π/2
    2×atan(6.35360324510175)-π/2
    2×1.41468596683947-π/2
    2.82937193367895-1.57079632675     		φ = 1.25857561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23412382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.414307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25857561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.111071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60652 KachelY 26964 -0.23412382 1.25857561 -13.414307 72.111071
    Oben rechts KachelX + 1 60653 KachelY 26964 -0.23407588 1.25857561 -13.411560 72.111071
    Unten links KachelX 60652 KachelY + 1 26965 -0.23412382 1.25856088 -13.414307 72.110227
    Unten rechts KachelX + 1 60653 KachelY + 1 26965 -0.23407588 1.25856088 -13.411560 72.110227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25857561-1.25856088) × R
    1.47299999999628e-05 × 6371000     		dl = 93.8448299997632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25857561-1.25856088) × R
    1.47299999999628e-05 × 6371000     		dr = 93.8448299997632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23412382--0.23407588) × cos(1.25857561) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.307172745647466 × 6371000     		do = 93.8184631472562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23412382--0.23407588) × cos(1.25856088) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.307186763474223 × 6371000     		du = 93.8227445523666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25857561)-sin(1.25856088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307172745647466-0.307186763474223)×R²
    abs(-0.23407588--0.23412382)×1.40178267568625e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.40178267568625e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.40178267568625e-05×40589641000000     		ar = 8804.57861898503m²