Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60651 / 82563
↖ ↑ ↗
← S 42.299659°
W 13.417053°		 ← 225.86 m → S 42.299659°
W 13.414307°		 →
↑
225.92 m
↓
↑
225.92 m
↓
S 42.301691°
W 13.417053°		 ← 225.85 m →
51 024 m²		 S 42.301691°
W 13.414307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462734222412109 y=0.629909515380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462734222412109 × 217)
    floor (0.462734222412109 × 131072)
    floor (60651.5)     		tx = 60651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629909515380859 × 217)
    floor (0.629909515380859 × 131072)
    floor (82563.5)     		ty = 82563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60651 / 82563 ti = "17/60651/82563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60651/82563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60651 ÷ 217
    60651 ÷ 131072     		x = 0.462730407714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82563 ÷ 217
    82563 ÷ 131072     		y = 0.629905700683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462730407714844 × 2 - 1) × π
    -0.0745391845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23417175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629905700683594 × 2 - 1) × π
    -0.259811401367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.816221589830696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23417175} λ = -0.23417175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816221589830696))-π/2
    2×atan(0.442098933797223)-π/2
    2×0.416264003333467-π/2
    0.832528006666934-1.57079632675     		φ = -0.73826832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23417175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.417053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73826832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.299659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60651 KachelY 82563 -0.23417175 -0.73826832 -13.417053 -42.299659
    Oben rechts KachelX + 1 60652 KachelY 82563 -0.23412382 -0.73826832 -13.414307 -42.299659
    Unten links KachelX 60651 KachelY + 1 82564 -0.23417175 -0.73830378 -13.417053 -42.301691
    Unten rechts KachelX + 1 60652 KachelY + 1 82564 -0.23412382 -0.73830378 -13.414307 -42.301691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73826832--0.73830378) × R
    3.54599999999872e-05 × 6371000     		dl = 225.915659999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73826832--0.73830378) × R
    3.54599999999872e-05 × 6371000     		dr = 225.915659999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23417175--0.23412382) × cos(-0.73826832) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.739635101808496 × 6371000     		do = 225.856476147506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23417175--0.23412382) × cos(-0.73830378) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.739611236475906 × 6371000     		du = 225.8491885811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73826832)-sin(-0.73830378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739635101808496-0.739611236475906)×R²
    abs(-0.23412382--0.23417175)×2.38653325896898e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38653325896898e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38653325896898e-05×40589641000000     		ar = 51023.6916917068m²