Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60651 / 40827
↖ ↑ ↗
← N 55.981482°
W 13.417053°		 ← 170.84 m → N 55.981482°
W 13.414307°		 →
↑
170.87 m
↓
↑
170.87 m
↓
N 55.979945°
W 13.417053°		 ← 170.84 m →
29 192 m²		 N 55.979945°
W 13.414307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462734222412109 y=0.311489105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462734222412109 × 217)
    floor (0.462734222412109 × 131072)
    floor (60651.5)     		tx = 60651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311489105224609 × 217)
    floor (0.311489105224609 × 131072)
    floor (40827.5)     		ty = 40827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60651 / 40827 ti = "17/60651/40827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60651/40827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60651 ÷ 217
    60651 ÷ 131072     		x = 0.462730407714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40827 ÷ 217
    40827 ÷ 131072     		y = 0.311485290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462730407714844 × 2 - 1) × π
    -0.0745391845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23417175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311485290527344 × 2 - 1) × π
    0.377029418945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.18447285271197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23417175} λ = -0.23417175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18447285271197))-π/2
    2×atan(3.26896314213437)-π/2
    2×1.27392875385373-π/2
    2.54785750770746-1.57079632675     		φ = 0.97706118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23417175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.417053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97706118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.981482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60651 KachelY 40827 -0.23417175 0.97706118 -13.417053 55.981482
    Oben rechts KachelX + 1 60652 KachelY 40827 -0.23412382 0.97706118 -13.414307 55.981482
    Unten links KachelX 60651 KachelY + 1 40828 -0.23417175 0.97703436 -13.417053 55.979945
    Unten rechts KachelX + 1 60652 KachelY + 1 40828 -0.23412382 0.97703436 -13.414307 55.979945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97706118-0.97703436) × R
    2.6819999999983e-05 × 6371000     		dl = 170.870219999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97706118-0.97703436) × R
    2.6819999999983e-05 × 6371000     		dr = 170.870219999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23417175--0.23412382) × cos(0.97706118) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.559460820129066 × 6371000     		do = 170.838091740082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23417175--0.23412382) × cos(0.97703436) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.559483049867159 × 6371000     		du = 170.844879858032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97706118)-sin(0.97703436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559460820129066-0.559483049867159)×R²
    abs(-0.23412382--0.23417175)×2.22297380924052e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22297380924052e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22297380924052e-05×40589641000000     		ar = 29191.7222653956m²