Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60651 / 32875
↖ ↑ ↗
← N 66.395861°
W 13.417053°		 ← 122.27 m → N 66.395861°
W 13.414307°		 →
↑
122.26 m
↓
↑
122.26 m
↓
N 66.394761°
W 13.417053°		 ← 122.28 m →
14 949 m²		 N 66.394761°
W 13.414307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462734222412109 y=0.250820159912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462734222412109 × 217)
    floor (0.462734222412109 × 131072)
    floor (60651.5)     		tx = 60651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250820159912109 × 217)
    floor (0.250820159912109 × 131072)
    floor (32875.5)     		ty = 32875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60651 / 32875 ti = "17/60651/32875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60651/32875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60651 ÷ 217
    60651 ÷ 131072     		x = 0.462730407714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32875 ÷ 217
    32875 ÷ 131072     		y = 0.250816345214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462730407714844 × 2 - 1) × π
    -0.0745391845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23417175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250816345214844 × 2 - 1) × π
    0.498367309570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.56566707849065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23417175} λ = -0.23417175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56566707849065))-π/2
    2×atan(4.78586641983959)-π/2
    2×1.36481135455457-π/2
    2.72962270910914-1.57079632675     		φ = 1.15882638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23417175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.417053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15882638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.395861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60651 KachelY 32875 -0.23417175 1.15882638 -13.417053 66.395861
    Oben rechts KachelX + 1 60652 KachelY 32875 -0.23412382 1.15882638 -13.414307 66.395861
    Unten links KachelX 60651 KachelY + 1 32876 -0.23417175 1.15880719 -13.417053 66.394761
    Unten rechts KachelX + 1 60652 KachelY + 1 32876 -0.23412382 1.15880719 -13.414307 66.394761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15882638-1.15880719) × R
    1.91899999999467e-05 × 6371000     		dl = 122.259489999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15882638-1.15880719) × R
    1.91899999999467e-05 × 6371000     		dr = 122.259489999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23417175--0.23412382) × cos(1.15882638) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.400415232601895 × 6371000     		do = 122.271608270241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23417175--0.23412382) × cos(1.15880719) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.400432816973877 × 6371000     		du = 122.276977869766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15882638)-sin(1.15880719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400415232601895-0.400432816973877)×R²
    abs(-0.23412382--0.23417175)×1.75843719819602e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.75843719819602e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.75843719819602e-05×40589641000000     		ar = 14949.1927112594m²