Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60650 / 33941
↖ ↑ ↗
← N 65.195708°
W 13.419800°		 ← 128.13 m → N 65.195708°
W 13.417053°		 →
↑
128.12 m
↓
↑
128.12 m
↓
N 65.194556°
W 13.419800°		 ← 128.14 m →
16 417 m²		 N 65.194556°
W 13.417053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462726593017578 y=0.258953094482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462726593017578 × 217)
    floor (0.462726593017578 × 131072)
    floor (60650.5)     		tx = 60650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258953094482422 × 217)
    floor (0.258953094482422 × 131072)
    floor (33941.5)     		ty = 33941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60650 / 33941 ti = "17/60650/33941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60650/33941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60650 ÷ 217
    60650 ÷ 131072     		x = 0.462722778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33941 ÷ 217
    33941 ÷ 131072     		y = 0.258949279785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462722778320312 × 2 - 1) × π
    -0.074554443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23421969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258949279785156 × 2 - 1) × π
    0.482101440429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.51456634349567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23421969} λ = -0.23421969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51456634349567))-π/2
    2×atan(4.54744866849868)-π/2
    2×1.35433804317005-π/2
    2.70867608634011-1.57079632675     		φ = 1.13787976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23421969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.419800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13787976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.195708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60650 KachelY 33941 -0.23421969 1.13787976 -13.419800 65.195708
    Oben rechts KachelX + 1 60651 KachelY 33941 -0.23417175 1.13787976 -13.417053 65.195708
    Unten links KachelX 60650 KachelY + 1 33942 -0.23421969 1.13785965 -13.419800 65.194556
    Unten rechts KachelX + 1 60651 KachelY + 1 33942 -0.23417175 1.13785965 -13.417053 65.194556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13787976-1.13785965) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dl = 128.120809999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13787976-1.13785965) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dr = 128.120809999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23421969--0.23417175) × cos(1.13787976) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419520084968242 × 6371000     		do = 128.132232396278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23421969--0.23417175) × cos(1.13785965) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419538339656554 × 6371000     		du = 128.137807847965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13787976)-sin(1.13785965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419520084968242-0.419538339656554)×R²
    abs(-0.23417175--0.23421969)×1.82546883124024e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82546883124024e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82546883124024e-05×40589641000000     		ar = 16416.7625679355m²