Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60649 / 41193
↖ ↑ ↗
← N 55.414985°
W 13.422546°		 ← 173.37 m → N 55.414985°
W 13.419800°		 →
↑
173.35 m
↓
↑
173.35 m
↓
N 55.413426°
W 13.422546°		 ← 173.38 m →
30 055 m²		 N 55.413426°
W 13.419800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462718963623047 y=0.314281463623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462718963623047 × 217)
    floor (0.462718963623047 × 131072)
    floor (60649.5)     		tx = 60649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314281463623047 × 217)
    floor (0.314281463623047 × 131072)
    floor (41193.5)     		ty = 41193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60649 / 41193 ti = "17/60649/41193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60649/41193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60649 ÷ 217
    60649 ÷ 131072     		x = 0.462715148925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41193 ÷ 217
    41193 ÷ 131072     		y = 0.314277648925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462715148925781 × 2 - 1) × π
    -0.0745697021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23426763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314277648925781 × 2 - 1) × π
    0.371444702148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.16692794745103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23426763} λ = -0.23426763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16692794745103))-π/2
    2×atan(3.21210969606236)-π/2
    2×1.2689851315048-π/2
    2.5379702630096-1.57079632675     		φ = 0.96717394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23426763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.422546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96717394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.414985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60649 KachelY 41193 -0.23426763 0.96717394 -13.422546 55.414985
    Oben rechts KachelX + 1 60650 KachelY 41193 -0.23421969 0.96717394 -13.419800 55.414985
    Unten links KachelX 60649 KachelY + 1 41194 -0.23426763 0.96714673 -13.422546 55.413426
    Unten rechts KachelX + 1 60650 KachelY + 1 41194 -0.23421969 0.96714673 -13.419800 55.413426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96717394-0.96714673) × R
    2.72100000000552e-05 × 6371000     		dl = 173.354910000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96717394-0.96714673) × R
    2.72100000000552e-05 × 6371000     		dr = 173.354910000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23426763--0.23421969) × cos(0.96717394) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567628447162968 × 6371000     		do = 173.368338519787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23426763--0.23421969) × cos(0.96714673) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567650848533631 × 6371000     		du = 173.375180474999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96717394)-sin(0.96714673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567628447162968-0.567650848533631)×R²
    abs(-0.23421969--0.23426763)×2.24013706628945e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24013706628945e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24013706628945e-05×40589641000000     		ar = 30054.8457662904m²