Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60649 / 41176
↖ ↑ ↗
← N 55.441480°
W 13.422546°		 ← 173.25 m → N 55.441480°
W 13.419800°		 →
↑
173.29 m
↓
↑
173.29 m
↓
N 55.439921°
W 13.422546°		 ← 173.26 m →
30 024 m²		 N 55.439921°
W 13.419800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462718963623047 y=0.314151763916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462718963623047 × 217)
    floor (0.462718963623047 × 131072)
    floor (60649.5)     		tx = 60649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314151763916016 × 217)
    floor (0.314151763916016 × 131072)
    floor (41176.5)     		ty = 41176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60649 / 41176 ti = "17/60649/41176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60649/41176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60649 ÷ 217
    60649 ÷ 131072     		x = 0.462715148925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41176 ÷ 217
    41176 ÷ 131072     		y = 0.31414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462715148925781 × 2 - 1) × π
    -0.0745697021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23426763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31414794921875 × 2 - 1) × π
    0.3717041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16774287474457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23426763} λ = -0.23426763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16774287474457))-π/2
    2×atan(3.21472839880477)-π/2
    2×1.26921634188472-π/2
    2.53843268376944-1.57079632675     		φ = 0.96763636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23426763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.422546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96763636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.441480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60649 KachelY 41176 -0.23426763 0.96763636 -13.422546 55.441480
    Oben rechts KachelX + 1 60650 KachelY 41176 -0.23421969 0.96763636 -13.419800 55.441480
    Unten links KachelX 60649 KachelY + 1 41177 -0.23426763 0.96760916 -13.422546 55.439921
    Unten rechts KachelX + 1 60650 KachelY + 1 41177 -0.23421969 0.96760916 -13.419800 55.439921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96763636-0.96760916) × R
    2.7200000000005e-05 × 6371000     		dl = 173.291200000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96763636-0.96760916) × R
    2.7200000000005e-05 × 6371000     		dr = 173.291200000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23426763--0.23421969) × cos(0.96763636) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567247683107078 × 6371000     		do = 173.252043376251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23426763--0.23421969) × cos(0.96760916) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567270083382323 × 6371000     		du = 173.258884996894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96763636)-sin(0.96760916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567247683107078-0.567270083382323)×R²
    abs(-0.23421969--0.23426763)×2.24002752458041e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24002752458041e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24002752458041e-05×40589641000000     		ar = 30023.6472973781m²