Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60649 / 33833
↖ ↑ ↗
← N 65.319859°
W 13.422546°		 ← 127.53 m → N 65.319859°
W 13.419800°		 →
↑
127.55 m
↓
↑
127.55 m
↓
N 65.318712°
W 13.422546°		 ← 127.54 m →
16 267 m²		 N 65.318712°
W 13.419800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462718963623047 y=0.258129119873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462718963623047 × 217)
    floor (0.462718963623047 × 131072)
    floor (60649.5)     		tx = 60649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258129119873047 × 217)
    floor (0.258129119873047 × 131072)
    floor (33833.5)     		ty = 33833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60649 / 33833 ti = "17/60649/33833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60649/33833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60649 ÷ 217
    60649 ÷ 131072     		x = 0.462715148925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33833 ÷ 217
    33833 ÷ 131072     		y = 0.258125305175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462715148925781 × 2 - 1) × π
    -0.0745697021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23426763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258125305175781 × 2 - 1) × π
    0.483749389648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.51974352865464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23426763} λ = -0.23426763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51974352865464))-π/2
    2×atan(4.57105270075711)-π/2
    2×1.3554214611063-π/2
    2.7108429222126-1.57079632675     		φ = 1.14004660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23426763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.422546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14004660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.319859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60649 KachelY 33833 -0.23426763 1.14004660 -13.422546 65.319859
    Oben rechts KachelX + 1 60650 KachelY 33833 -0.23421969 1.14004660 -13.419800 65.319859
    Unten links KachelX 60649 KachelY + 1 33834 -0.23426763 1.14002658 -13.422546 65.318712
    Unten rechts KachelX + 1 60650 KachelY + 1 33834 -0.23421969 1.14002658 -13.419800 65.318712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14004660-1.14002658) × R
    2.00200000000095e-05 × 6371000     		dl = 127.54742000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14004660-1.14002658) × R
    2.00200000000095e-05 × 6371000     		dr = 127.54742000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23426763--0.23421969) × cos(1.14004660) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417552161184039 × 6371000     		do = 127.531177818224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23426763--0.23421969) × cos(1.14002658) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.41757035233252 × 6371000     		du = 127.536733863211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14004660)-sin(1.14002658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417552161184039-0.41757035233252)×R²
    abs(-0.23421969--0.23426763)×1.8191148481006e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8191148481006e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8191148481006e-05×40589641000000     		ar = 16266.6270304281m²