Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60648 / 56168
↖ ↑ ↗
← N 24.906367°
W 13.425293°		 ← 277.02 m → N 24.906367°
W 13.422546°		 →
↑
277.01 m
↓
↑
277.01 m
↓
N 24.903876°
W 13.425293°		 ← 277.03 m →
76 738 m²		 N 24.903876°
W 13.422546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462711334228516 y=0.428531646728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462711334228516 × 217)
    floor (0.462711334228516 × 131072)
    floor (60648.5)     		tx = 60648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428531646728516 × 217)
    floor (0.428531646728516 × 131072)
    floor (56168.5)     		ty = 56168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60648 / 56168 ti = "17/60648/56168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60648/56168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60648 ÷ 217
    60648 ÷ 131072     		x = 0.46270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56168 ÷ 217
    56168 ÷ 131072     		y = 0.42852783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23431557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42852783203125 × 2 - 1) × π
    0.1429443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.449072875640686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23431557} λ = -0.23431557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449072875640686))-π/2
    2×atan(1.56685883888062)-π/2
    2×1.0027472198978-π/2
    2.0054944397956-1.57079632675     		φ = 0.43469811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23431557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43469811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.906367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60648 KachelY 56168 -0.23431557 0.43469811 -13.425293 24.906367
    Oben rechts KachelX + 1 60649 KachelY 56168 -0.23426763 0.43469811 -13.422546 24.906367
    Unten links KachelX 60648 KachelY + 1 56169 -0.23431557 0.43465463 -13.425293 24.903876
    Unten rechts KachelX + 1 60649 KachelY + 1 56169 -0.23426763 0.43465463 -13.422546 24.903876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43469811-0.43465463) × R
    4.34800000000402e-05 × 6371000     		dl = 277.011080000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43469811-0.43465463) × R
    4.34800000000402e-05 × 6371000     		dr = 277.011080000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23431557--0.23426763) × cos(0.43469811) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.906997220558506 × 6371000     		do = 277.020297267004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23431557--0.23426763) × cos(0.43465463) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.907015530720836 × 6371000     		du = 277.025889661883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43469811)-sin(0.43465463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906997220558506-0.907015530720836)×R²
    abs(-0.23426763--0.23431557)×1.83101623301152e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83101623301152e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83101623301152e-05×40589641000000     		ar = 76738.4663176806m²