Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60648 / 41175
↖ ↑ ↗
← N 55.443037°
W 13.425293°		 ← 173.25 m → N 55.443037°
W 13.422546°		 →
↑
173.23 m
↓
↑
173.23 m
↓
N 55.441480°
W 13.425293°		 ← 173.25 m →
30 011 m²		 N 55.441480°
W 13.422546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462711334228516 y=0.314144134521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462711334228516 × 217)
    floor (0.462711334228516 × 131072)
    floor (60648.5)     		tx = 60648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314144134521484 × 217)
    floor (0.314144134521484 × 131072)
    floor (41175.5)     		ty = 41175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60648 / 41175 ti = "17/60648/41175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60648/41175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60648 ÷ 217
    60648 ÷ 131072     		x = 0.46270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41175 ÷ 217
    41175 ÷ 131072     		y = 0.314140319824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23431557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314140319824219 × 2 - 1) × π
    0.371719360351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.16779081164419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23431557} λ = -0.23431557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16779081164419))-π/2
    2×atan(3.21488250661103)-π/2
    2×1.26922993766403-π/2
    2.53845987532806-1.57079632675     		φ = 0.96766355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23431557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96766355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.443037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60648 KachelY 41175 -0.23431557 0.96766355 -13.425293 55.443037
    Oben rechts KachelX + 1 60649 KachelY 41175 -0.23426763 0.96766355 -13.422546 55.443037
    Unten links KachelX 60648 KachelY + 1 41176 -0.23431557 0.96763636 -13.425293 55.441480
    Unten rechts KachelX + 1 60649 KachelY + 1 41176 -0.23426763 0.96763636 -13.422546 55.441480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96766355-0.96763636) × R
    2.71900000000658e-05 × 6371000     		dl = 173.227490000419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96766355-0.96763636) × R
    2.71900000000658e-05 × 6371000     		dr = 173.227490000419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23431557--0.23426763) × cos(0.96766355) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567225290647786 × 6371000     		do = 173.245204142802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23431557--0.23426763) × cos(0.96763636) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567247683107078 × 6371000     		du = 173.252043376251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96766355)-sin(0.96763636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567225290647786-0.567247683107078)×R²
    abs(-0.23426763--0.23431557)×2.2392459291698e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2392459291698e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2392459291698e-05×40589641000000     		ar = 30011.4242417419m²