Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60647 / 41178
↖ ↑ ↗
← N 55.438363°
W 13.428039°		 ← 173.23 m → N 55.438363°
W 13.425293°		 →
↑
173.23 m
↓
↑
173.23 m
↓
N 55.436805°
W 13.428039°		 ← 173.24 m →
30 009 m²		 N 55.436805°
W 13.425293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462703704833984 y=0.314167022705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462703704833984 × 217)
    floor (0.462703704833984 × 131072)
    floor (60647.5)     		tx = 60647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314167022705078 × 217)
    floor (0.314167022705078 × 131072)
    floor (41178.5)     		ty = 41178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60647 / 41178 ti = "17/60647/41178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60647/41178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60647 ÷ 217
    60647 ÷ 131072     		x = 0.462699890136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41178 ÷ 217
    41178 ÷ 131072     		y = 0.314163208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462699890136719 × 2 - 1) × π
    -0.0746002197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23436350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314163208007812 × 2 - 1) × π
    0.371673583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16764700094533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23436350} λ = -0.23436350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16764700094533))-π/2
    2×atan(3.21442020535373)-π/2
    2×1.26918914871585-π/2
    2.53837829743169-1.57079632675     		φ = 0.96758197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23436350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.428039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96758197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.438363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60647 KachelY 41178 -0.23436350 0.96758197 -13.428039 55.438363
    Oben rechts KachelX + 1 60648 KachelY 41178 -0.23431557 0.96758197 -13.425293 55.438363
    Unten links KachelX 60647 KachelY + 1 41179 -0.23436350 0.96755478 -13.428039 55.436805
    Unten rechts KachelX + 1 60648 KachelY + 1 41179 -0.23431557 0.96755478 -13.425293 55.436805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96758197-0.96755478) × R
    2.71900000000658e-05 × 6371000     		dl = 173.227490000419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96758197-0.96755478) × R
    2.71900000000658e-05 × 6371000     		dr = 173.227490000419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23436350--0.23431557) × cos(0.96758197) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.567292475002716 × 6371000     		do = 173.229581770559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23436350--0.23431557) × cos(0.96755478) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.567314866203712 × 6371000     		du = 173.23641919315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96758197)-sin(0.96755478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567292475002716-0.567314866203712)×R²
    abs(-0.23431557--0.23436350)×2.23912009957861e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23912009957861e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23912009957861e-05×40589641000000     		ar = 30008.7178604356m²