Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60646 / 84453
↖ ↑ ↗
← S 46.021761°
W 13.430786°		 ← 212.08 m → S 46.021761°
W 13.428039°		 →
↑
212.09 m
↓
↑
212.09 m
↓
S 46.023668°
W 13.430786°		 ← 212.08 m →
44 980 m²		 S 46.023668°
W 13.428039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462696075439453 y=0.644329071044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462696075439453 × 217)
    floor (0.462696075439453 × 131072)
    floor (60646.5)     		tx = 60646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644329071044922 × 217)
    floor (0.644329071044922 × 131072)
    floor (84453.5)     		ty = 84453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60646 / 84453 ti = "17/60646/84453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60646/84453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60646 ÷ 217
    60646 ÷ 131072     		x = 0.462692260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84453 ÷ 217
    84453 ÷ 131072     		y = 0.644325256347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462692260742188 × 2 - 1) × π
    -0.074615478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23441144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644325256347656 × 2 - 1) × π
    -0.288650512695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.906822330112602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23441144} λ = -0.23441144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906822330112602))-π/2
    2×atan(0.403805347555093)-π/2
    2×0.383782538463647-π/2
    0.767565076927293-1.57079632675     		φ = -0.80323125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23441144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.430786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80323125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.021761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60646 KachelY 84453 -0.23441144 -0.80323125 -13.430786 -46.021761
    Oben rechts KachelX + 1 60647 KachelY 84453 -0.23436350 -0.80323125 -13.428039 -46.021761
    Unten links KachelX 60646 KachelY + 1 84454 -0.23441144 -0.80326454 -13.430786 -46.023668
    Unten rechts KachelX + 1 60647 KachelY + 1 84454 -0.23436350 -0.80326454 -13.428039 -46.023668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80323125--0.80326454) × R
    3.32900000000746e-05 × 6371000     		dl = 212.090590000476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80323125--0.80326454) × R
    3.32900000000746e-05 × 6371000     		dr = 212.090590000476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23441144--0.23436350) × cos(-0.80323125) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.69438511936602 × 6371000     		do = 212.083088927339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23441144--0.23436350) × cos(-0.80326454) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.694361163378225 × 6371000     		du = 212.075772152039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80323125)-sin(-0.80326454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69438511936602-0.694361163378225)×R²
    abs(-0.23436350--0.23441144)×2.39559877942552e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39559877942552e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39559877942552e-05×40589641000000     		ar = 44980.0515543817m²