Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60646 / 40870
↖ ↑ ↗
← N 55.915352°
W 13.430786°		 ← 171.17 m → N 55.915352°
W 13.428039°		 →
↑
171.19 m
↓
↑
171.19 m
↓
N 55.913812°
W 13.430786°		 ← 171.17 m →
29 302 m²		 N 55.913812°
W 13.428039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462696075439453 y=0.311817169189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462696075439453 × 217)
    floor (0.462696075439453 × 131072)
    floor (60646.5)     		tx = 60646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311817169189453 × 217)
    floor (0.311817169189453 × 131072)
    floor (40870.5)     		ty = 40870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60646 / 40870 ti = "17/60646/40870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60646/40870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60646 ÷ 217
    60646 ÷ 131072     		x = 0.462692260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40870 ÷ 217
    40870 ÷ 131072     		y = 0.311813354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462692260742188 × 2 - 1) × π
    -0.074615478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23441144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311813354492188 × 2 - 1) × π
    0.376373291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1824115660283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23441144} λ = -0.23441144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1824115660283))-π/2
    2×atan(3.26223181192417)-π/2
    2×1.2733516565649-π/2
    2.5467033131298-1.57079632675     		φ = 0.97590699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23441144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.430786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97590699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.915352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60646 KachelY 40870 -0.23441144 0.97590699 -13.430786 55.915352
    Oben rechts KachelX + 1 60647 KachelY 40870 -0.23436350 0.97590699 -13.428039 55.915352
    Unten links KachelX 60646 KachelY + 1 40871 -0.23441144 0.97588012 -13.430786 55.913812
    Unten rechts KachelX + 1 60647 KachelY + 1 40871 -0.23436350 0.97588012 -13.428039 55.913812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97590699-0.97588012) × R
    2.68700000000122e-05 × 6371000     		dl = 171.188770000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97590699-0.97588012) × R
    2.68700000000122e-05 × 6371000     		dr = 171.188770000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23441144--0.23436350) × cos(0.97590699) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.560417105499656 × 6371000     		do = 171.165809155877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23441144--0.23436350) × cos(0.97588012) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.560439359314056 × 6371000     		du = 171.172606043608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97590699)-sin(0.97588012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560417105499656-0.560439359314056)×R²
    abs(-0.23436350--0.23441144)×2.22538143994644e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22538143994644e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22538143994644e-05×40589641000000     		ar = 29302.2461126315m²