Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60645 / 40024
↖ ↑ ↗
← N 57.195808°
W 13.433533°		 ← 165.47 m → N 57.195808°
W 13.430786°		 →
↑
165.52 m
↓
↑
165.52 m
↓
N 57.194320°
W 13.433533°		 ← 165.48 m →
27 389 m²		 N 57.194320°
W 13.430786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462688446044922 y=0.305362701416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462688446044922 × 217)
    floor (0.462688446044922 × 131072)
    floor (60645.5)     		tx = 60645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305362701416016 × 217)
    floor (0.305362701416016 × 131072)
    floor (40024.5)     		ty = 40024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60645 / 40024 ti = "17/60645/40024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60645/40024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60645 ÷ 217
    60645 ÷ 131072     		x = 0.462684631347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40024 ÷ 217
    40024 ÷ 131072     		y = 0.30535888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462684631347656 × 2 - 1) × π
    -0.0746307373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23445938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30535888671875 × 2 - 1) × π
    0.3892822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22296618310687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23445938} λ = -0.23445938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22296618310687))-π/2
    2×atan(3.39724966804929)-π/2
    2×1.28452574645496-π/2
    2.56905149290991-1.57079632675     		φ = 0.99825517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23445938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.433533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99825517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.195808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60645 KachelY 40024 -0.23445938 0.99825517 -13.433533 57.195808
    Oben rechts KachelX + 1 60646 KachelY 40024 -0.23441144 0.99825517 -13.430786 57.195808
    Unten links KachelX 60645 KachelY + 1 40025 -0.23445938 0.99822919 -13.433533 57.194320
    Unten rechts KachelX + 1 60646 KachelY + 1 40025 -0.23441144 0.99822919 -13.430786 57.194320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99825517-0.99822919) × R
    2.5979999999981e-05 × 6371000     		dl = 165.518579999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99825517-0.99822919) × R
    2.5979999999981e-05 × 6371000     		dr = 165.518579999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23445938--0.23441144) × cos(0.99825517) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541769706485045 × 6371000     		do = 165.470413512765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23445938--0.23441144) × cos(0.99822919) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541791543192853 × 6371000     		du = 165.477083005406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99825517)-sin(0.99822919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541769706485045-0.541791543192853)×R²
    abs(-0.23441144--0.23445938)×2.18367078081982e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18367078081982e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18367078081982e-05×40589641000000     		ar = 27388.9798407331m²