Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60642 / 40577
↖ ↑ ↗
← N 56.363729°
W 13.441773°		 ← 169.18 m → N 56.363729°
W 13.439026°		 →
↑
169.21 m
↓
↑
169.21 m
↓
N 56.362207°
W 13.441773°		 ← 169.19 m →
28 628 m²		 N 56.362207°
W 13.439026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462665557861328 y=0.309581756591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462665557861328 × 217)
    floor (0.462665557861328 × 131072)
    floor (60642.5)     		tx = 60642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309581756591797 × 217)
    floor (0.309581756591797 × 131072)
    floor (40577.5)     		ty = 40577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60642 / 40577 ti = "17/60642/40577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60642/40577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60642 ÷ 217
    60642 ÷ 131072     		x = 0.462661743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40577 ÷ 217
    40577 ÷ 131072     		y = 0.309577941894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462661743164062 × 2 - 1) × π
    -0.074676513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23460319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309577941894531 × 2 - 1) × π
    0.380844116210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.19645707761698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23460319} λ = -0.23460319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19645707761698))-π/2
    2×atan(3.3083748191401)-π/2
    2×1.27726448637902-π/2
    2.55452897275803-1.57079632675     		φ = 0.98373265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23460319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.441773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98373265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.363729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60642 KachelY 40577 -0.23460319 0.98373265 -13.441773 56.363729
    Oben rechts KachelX + 1 60643 KachelY 40577 -0.23455525 0.98373265 -13.439026 56.363729
    Unten links KachelX 60642 KachelY + 1 40578 -0.23460319 0.98370609 -13.441773 56.362207
    Unten rechts KachelX + 1 60643 KachelY + 1 40578 -0.23455525 0.98370609 -13.439026 56.362207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98373265-0.98370609) × R
    2.65600000000088e-05 × 6371000     		dl = 169.213760000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98373265-0.98370609) × R
    2.65600000000088e-05 × 6371000     		dr = 169.213760000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23460319--0.23455525) × cos(0.98373265) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553918717551857 × 6371000     		do = 169.181034208114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23460319--0.23455525) × cos(0.98370609) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553940830435608 × 6371000     		du = 169.187788051997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98373265)-sin(0.98370609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553918717551857-0.553940830435608)×R²
    abs(-0.23455525--0.23460319)×2.21128837504247e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21128837504247e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21128837504247e-05×40589641000000     		ar = 28628.3303425448m²