Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60641 / 84446
↖ ↑ ↗
← S 46.008409°
W 13.444519°		 ← 212.09 m → S 46.008409°
W 13.441773°		 →
↑
212.09 m
↓
↑
212.09 m
↓
S 46.010316°
W 13.444519°		 ← 212.08 m →
44 982 m²		 S 46.010316°
W 13.441773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462657928466797 y=0.644275665283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462657928466797 × 217)
    floor (0.462657928466797 × 131072)
    floor (60641.5)     		tx = 60641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644275665283203 × 217)
    floor (0.644275665283203 × 131072)
    floor (84446.5)     		ty = 84446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60641 / 84446 ti = "17/60641/84446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60641/84446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60641 ÷ 217
    60641 ÷ 131072     		x = 0.462654113769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84446 ÷ 217
    84446 ÷ 131072     		y = 0.644271850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462654113769531 × 2 - 1) × π
    -0.0746917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23465112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644271850585938 × 2 - 1) × π
    -0.288543701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.906486771815262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23465112} λ = -0.23465112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906486771815262))-π/2
    2×atan(0.403940870526633)-π/2
    2×0.383899055873887-π/2
    0.767798111747774-1.57079632675     		φ = -0.80299822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23465112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.444519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80299822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.008409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60641 KachelY 84446 -0.23465112 -0.80299822 -13.444519 -46.008409
    Oben rechts KachelX + 1 60642 KachelY 84446 -0.23460319 -0.80299822 -13.441773 -46.008409
    Unten links KachelX 60641 KachelY + 1 84447 -0.23465112 -0.80303151 -13.444519 -46.010316
    Unten rechts KachelX + 1 60642 KachelY + 1 84447 -0.23460319 -0.80303151 -13.441773 -46.010316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80299822--0.80303151) × R
    3.32899999999636e-05 × 6371000     		dl = 212.090589999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80299822--0.80303151) × R
    3.32899999999636e-05 × 6371000     		dr = 212.090589999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23465112--0.23460319) × cos(-0.80299822) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.694552789732131 × 6371000     		do = 212.090049814774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23465112--0.23460319) × cos(-0.80303151) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.694528839131634 × 6371000     		du = 212.082736210786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80299822)-sin(-0.80303151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694552789732131-0.694528839131634)×R²
    abs(-0.23460319--0.23465112)×2.39506004964252e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39506004964252e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39506004964252e-05×40589641000000     		ar = 44981.5282292996m²