Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60641 / 78926
↖ ↑ ↗
← S 34.483920°
W 13.444519°		 ← 251.71 m → S 34.483920°
W 13.441773°		 →
↑
251.78 m
↓
↑
251.78 m
↓
S 34.486184°
W 13.444519°		 ← 251.70 m →
63 374 m²		 S 34.486184°
W 13.441773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462657928466797 y=0.602161407470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462657928466797 × 217)
    floor (0.462657928466797 × 131072)
    floor (60641.5)     		tx = 60641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602161407470703 × 217)
    floor (0.602161407470703 × 131072)
    floor (78926.5)     		ty = 78926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60641 / 78926 ti = "17/60641/78926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60641/78926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60641 ÷ 217
    60641 ÷ 131072     		x = 0.462654113769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78926 ÷ 217
    78926 ÷ 131072     		y = 0.602157592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462654113769531 × 2 - 1) × π
    -0.0746917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23465112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602157592773438 × 2 - 1) × π
    -0.204315185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.641875085912552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23465112} λ = -0.23465112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.641875085912552))-π/2
    2×atan(0.526304631833977)-π/2
    2×0.484469191669437-π/2
    0.968938383338875-1.57079632675     		φ = -0.60185794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23465112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.444519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60185794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.483920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60641 KachelY 78926 -0.23465112 -0.60185794 -13.444519 -34.483920
    Oben rechts KachelX + 1 60642 KachelY 78926 -0.23460319 -0.60185794 -13.441773 -34.483920
    Unten links KachelX 60641 KachelY + 1 78927 -0.23465112 -0.60189746 -13.444519 -34.486184
    Unten rechts KachelX + 1 60642 KachelY + 1 78927 -0.23460319 -0.60189746 -13.441773 -34.486184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60185794--0.60189746) × R
    3.95199999999596e-05 × 6371000     		dl = 251.781919999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60185794--0.60189746) × R
    3.95199999999596e-05 × 6371000     		dr = 251.781919999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23465112--0.23460319) × cos(-0.60185794) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.824285119171682 × 6371000     		do = 251.705377289065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23465112--0.23460319) × cos(-0.60189746) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.824262743295073 × 6371000     		du = 251.698544545961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60185794)-sin(-0.60189746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824285119171682-0.824262743295073)×R²
    abs(-0.23460319--0.23465112)×2.23758766086934e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23758766086934e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23758766086934e-05×40589641000000     		ar = 63374.0029956681m²