Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60641 / 56161
↖ ↑ ↗
← N 24.923804°
W 13.444519°		 ← 276.92 m → N 24.923804°
W 13.441773°		 →
↑
276.95 m
↓
↑
276.95 m
↓
N 24.921313°
W 13.444519°		 ← 276.93 m →
76 694 m²		 N 24.921313°
W 13.441773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462657928466797 y=0.428478240966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462657928466797 × 217)
    floor (0.462657928466797 × 131072)
    floor (60641.5)     		tx = 60641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428478240966797 × 217)
    floor (0.428478240966797 × 131072)
    floor (56161.5)     		ty = 56161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60641 / 56161 ti = "17/60641/56161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60641/56161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60641 ÷ 217
    60641 ÷ 131072     		x = 0.462654113769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56161 ÷ 217
    56161 ÷ 131072     		y = 0.428474426269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462654113769531 × 2 - 1) × π
    -0.0746917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23465112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428474426269531 × 2 - 1) × π
    0.143051147460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.449408433938026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23465112} λ = -0.23465112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449408433938026))-π/2
    2×atan(1.56738469958829)-π/2
    2×1.00289938436487-π/2
    2.00579876872973-1.57079632675     		φ = 0.43500244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23465112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.444519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43500244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.923804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60641 KachelY 56161 -0.23465112 0.43500244 -13.444519 24.923804
    Oben rechts KachelX + 1 60642 KachelY 56161 -0.23460319 0.43500244 -13.441773 24.923804
    Unten links KachelX 60641 KachelY + 1 56162 -0.23465112 0.43495897 -13.444519 24.921313
    Unten rechts KachelX + 1 60642 KachelY + 1 56162 -0.23460319 0.43495897 -13.441773 24.921313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43500244-0.43495897) × R
    4.34699999999899e-05 × 6371000     		dl = 276.947369999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43500244-0.43495897) × R
    4.34699999999899e-05 × 6371000     		dr = 276.947369999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23465112--0.23460319) × cos(0.43500244) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.906869014055258 × 6371000     		do = 276.923363076021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23465112--0.23460319) × cos(0.43495897) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.90688733200476 × 6371000     		du = 276.928956682267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43500244)-sin(0.43495897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906869014055258-0.90688733200476)×R²
    abs(-0.23460319--0.23465112)×1.83179495019115e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.83179495019115e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.83179495019115e-05×40589641000000     		ar = 76693.9716748148m²