Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60641 / 55968
↖ ↑ ↗
← N 25.403585°
W 13.444519°		 ← 275.84 m → N 25.403585°
W 13.441773°		 →
↑
275.86 m
↓
↑
275.86 m
↓
N 25.401104°
W 13.444519°		 ← 275.84 m →
76 094 m²		 N 25.401104°
W 13.441773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462657928466797 y=0.427005767822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462657928466797 × 217)
    floor (0.462657928466797 × 131072)
    floor (60641.5)     		tx = 60641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427005767822266 × 217)
    floor (0.427005767822266 × 131072)
    floor (55968.5)     		ty = 55968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60641 / 55968 ti = "17/60641/55968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60641/55968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60641 ÷ 217
    60641 ÷ 131072     		x = 0.462654113769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55968 ÷ 217
    55968 ÷ 131072     		y = 0.427001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462654113769531 × 2 - 1) × π
    -0.0746917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23465112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427001953125 × 2 - 1) × π
    0.14599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.458660255564697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23465112} λ = -0.23465112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.458660255564697))-π/2
    2×atan(1.58195315169251)-π/2
    2×1.00708626318766-π/2
    2.01417252637532-1.57079632675     		φ = 0.44337620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23465112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.444519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44337620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.403585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60641 KachelY 55968 -0.23465112 0.44337620 -13.444519 25.403585
    Oben rechts KachelX + 1 60642 KachelY 55968 -0.23460319 0.44337620 -13.441773 25.403585
    Unten links KachelX 60641 KachelY + 1 55969 -0.23465112 0.44333290 -13.444519 25.401104
    Unten rechts KachelX + 1 60642 KachelY + 1 55969 -0.23460319 0.44333290 -13.441773 25.401104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44337620-0.44333290) × R
    4.33000000000239e-05 × 6371000     		dl = 275.864300000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44337620-0.44333290) × R
    4.33000000000239e-05 × 6371000     		dr = 275.864300000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23465112--0.23460319) × cos(0.44337620) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.903308452626554 × 6371000     		do = 275.836102810213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23465112--0.23460319) × cos(0.44333290) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.903327027118375 × 6371000     		du = 275.841774754741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44337620)-sin(0.44333290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903308452626554-0.903327027118375)×R²
    abs(-0.23460319--0.23465112)×1.85744918210773e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85744918210773e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85744918210773e-05×40589641000000     		ar = 76094.1157719418m²