Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60640 / 41248
↖ ↑ ↗
← N 55.329144°
W 13.447266°		 ← 173.74 m → N 55.329144°
W 13.444519°		 →
↑
173.74 m
↓
↑
173.74 m
↓
N 55.327582°
W 13.447266°		 ← 173.75 m →
30 187 m²		 N 55.327582°
W 13.444519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462650299072266 y=0.314701080322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462650299072266 × 217)
    floor (0.462650299072266 × 131072)
    floor (60640.5)     		tx = 60640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314701080322266 × 217)
    floor (0.314701080322266 × 131072)
    floor (41248.5)     		ty = 41248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60640 / 41248 ti = "17/60640/41248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60640/41248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60640 ÷ 217
    60640 ÷ 131072     		x = 0.462646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41248 ÷ 217
    41248 ÷ 131072     		y = 0.314697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462646484375 × 2 - 1) × π
    -0.07470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23469906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314697265625 × 2 - 1) × π
    0.37060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16429141797192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23469906} λ = -0.23469906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16429141797192))-π/2
    2×atan(3.20365202850281)-π/2
    2×1.26823603450702-π/2
    2.53647206901404-1.57079632675     		φ = 0.96567574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23469906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.447266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96567574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.329144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60640 KachelY 41248 -0.23469906 0.96567574 -13.447266 55.329144
    Oben rechts KachelX + 1 60641 KachelY 41248 -0.23465112 0.96567574 -13.444519 55.329144
    Unten links KachelX 60640 KachelY + 1 41249 -0.23469906 0.96564847 -13.447266 55.327582
    Unten rechts KachelX + 1 60641 KachelY + 1 41249 -0.23465112 0.96564847 -13.444519 55.327582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96567574-0.96564847) × R
    2.72700000000237e-05 × 6371000     		dl = 173.737170000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96567574-0.96564847) × R
    2.72700000000237e-05 × 6371000     		dr = 173.737170000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23469906--0.23465112) × cos(0.96567574) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568861255015174 × 6371000     		do = 173.744869770325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23469906--0.23465112) × cos(0.96564847) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568883682565375 × 6371000     		du = 173.751719721441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96567574)-sin(0.96564847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568861255015174-0.568883682565375)×R²
    abs(-0.23465112--0.23469906)×2.24275502006543e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24275502006543e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24275502006543e-05×40589641000000     		ar = 30186.5370234431m²