Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60640 / 39776
↖ ↑ ↗
← N 57.562996°
W 13.447266°		 ← 163.82 m → N 57.562996°
W 13.444519°		 →
↑
163.80 m
↓
↑
163.80 m
↓
N 57.561522°
W 13.447266°		 ← 163.83 m →
26 834 m²		 N 57.561522°
W 13.444519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462650299072266 y=0.303470611572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462650299072266 × 217)
    floor (0.462650299072266 × 131072)
    floor (60640.5)     		tx = 60640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303470611572266 × 217)
    floor (0.303470611572266 × 131072)
    floor (39776.5)     		ty = 39776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60640 / 39776 ti = "17/60640/39776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60640/39776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60640 ÷ 217
    60640 ÷ 131072     		x = 0.462646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39776 ÷ 217
    39776 ÷ 131072     		y = 0.303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462646484375 × 2 - 1) × π
    -0.07470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23469906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303466796875 × 2 - 1) × π
    0.39306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23485453421265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23469906} λ = -0.23469906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23485453421265))-π/2
    2×atan(3.43787839064318)-π/2
    2×1.28773006242641-π/2
    2.57546012485282-1.57079632675     		φ = 1.00466380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23469906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.447266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00466380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.562996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60640 KachelY 39776 -0.23469906 1.00466380 -13.447266 57.562996
    Oben rechts KachelX + 1 60641 KachelY 39776 -0.23465112 1.00466380 -13.444519 57.562996
    Unten links KachelX 60640 KachelY + 1 39777 -0.23469906 1.00463809 -13.447266 57.561522
    Unten rechts KachelX + 1 60641 KachelY + 1 39777 -0.23465112 1.00463809 -13.444519 57.561522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00466380-1.00463809) × R
    2.57100000000676e-05 × 6371000     		dl = 163.798410000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00466380-1.00463809) × R
    2.57100000000676e-05 × 6371000     		dr = 163.798410000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23469906--0.23465112) × cos(1.00466380) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.536371991660691 × 6371000     		do = 163.821812468228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23469906--0.23465112) × cos(1.00463809) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.536393690252568 × 6371000     		du = 163.828439776709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00466380)-sin(1.00463809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536371991660691-0.536393690252568)×R²
    abs(-0.23465112--0.23469906)×2.16985918766177e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16985918766177e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16985918766177e-05×40589641000000     		ar = 26834.2951784247m²