Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60639 / 40031
↖ ↑ ↗
← N 57.185391°
W 13.450012°		 ← 165.52 m → N 57.185391°
W 13.447266°		 →
↑
165.52 m
↓
↑
165.52 m
↓
N 57.183902°
W 13.450012°		 ← 165.52 m →
27 397 m²		 N 57.183902°
W 13.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462642669677734 y=0.305416107177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462642669677734 × 217)
    floor (0.462642669677734 × 131072)
    floor (60639.5)     		tx = 60639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305416107177734 × 217)
    floor (0.305416107177734 × 131072)
    floor (40031.5)     		ty = 40031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60639 / 40031 ti = "17/60639/40031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60639/40031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60639 ÷ 217
    60639 ÷ 131072     		x = 0.462638854980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40031 ÷ 217
    40031 ÷ 131072     		y = 0.305412292480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462638854980469 × 2 - 1) × π
    -0.0747222900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23474700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305412292480469 × 2 - 1) × π
    0.389175415039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.22263062480953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23474700} λ = -0.23474700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22263062480953))-π/2
    2×atan(3.39610988397774)-π/2
    2×1.28443483597492-π/2
    2.56886967194985-1.57079632675     		φ = 0.99807335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23474700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.450012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99807335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.185391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60639 KachelY 40031 -0.23474700 0.99807335 -13.450012 57.185391
    Oben rechts KachelX + 1 60640 KachelY 40031 -0.23469906 0.99807335 -13.447266 57.185391
    Unten links KachelX 60639 KachelY + 1 40032 -0.23474700 0.99804737 -13.450012 57.183902
    Unten rechts KachelX + 1 60640 KachelY + 1 40032 -0.23469906 0.99804737 -13.447266 57.183902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99807335-0.99804737) × R
    2.5979999999981e-05 × 6371000     		dl = 165.518579999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99807335-0.99804737) × R
    2.5979999999981e-05 × 6371000     		dr = 165.518579999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23474700--0.23469906) × cos(0.99807335) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.541922522142604 × 6371000     		do = 165.517087348154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23474700--0.23469906) × cos(0.99804737) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.541944356290851 × 6371000     		du = 165.52375605904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99807335)-sin(0.99804737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541922522142604-0.541944356290851)×R²
    abs(-0.23469906--0.23474700)×2.18341482469686e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.18341482469686e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.18341482469686e-05×40589641000000     		ar = 27396.7051630573m²