Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60639 / 33636
↖ ↑ ↗
← N 65.544819°
W 13.450012°		 ← 126.44 m → N 65.544819°
W 13.447266°		 →
↑
126.46 m
↓
↑
126.46 m
↓
N 65.543682°
W 13.450012°		 ← 126.45 m →
15 991 m²		 N 65.543682°
W 13.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462642669677734 y=0.256626129150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462642669677734 × 217)
    floor (0.462642669677734 × 131072)
    floor (60639.5)     		tx = 60639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256626129150391 × 217)
    floor (0.256626129150391 × 131072)
    floor (33636.5)     		ty = 33636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60639 / 33636 ti = "17/60639/33636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60639/33636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60639 ÷ 217
    60639 ÷ 131072     		x = 0.462638854980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33636 ÷ 217
    33636 ÷ 131072     		y = 0.256622314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462638854980469 × 2 - 1) × π
    -0.0747222900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23474700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256622314453125 × 2 - 1) × π
    0.48675537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52918709787979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23474700} λ = -0.23474700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52918709787979))-π/2
    2×atan(4.61442422202444)-π/2
    2×1.35738461254349-π/2
    2.71476922508699-1.57079632675     		φ = 1.14397290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23474700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.450012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14397290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.544819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60639 KachelY 33636 -0.23474700 1.14397290 -13.450012 65.544819
    Oben rechts KachelX + 1 60640 KachelY 33636 -0.23469906 1.14397290 -13.447266 65.544819
    Unten links KachelX 60639 KachelY + 1 33637 -0.23474700 1.14395305 -13.450012 65.543682
    Unten rechts KachelX + 1 60640 KachelY + 1 33637 -0.23469906 1.14395305 -13.447266 65.543682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14397290-1.14395305) × R
    1.98500000001545e-05 × 6371000     		dl = 126.464350000984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14397290-1.14395305) × R
    1.98500000001545e-05 × 6371000     		dr = 126.464350000984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23474700--0.23469906) × cos(1.14397290) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.413981307800267 × 6371000     		do = 126.440547281128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23474700--0.23469906) × cos(1.14395305) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.413999376883541 × 6371000     		du = 126.446066044258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14397290)-sin(1.14395305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413981307800267-0.413999376883541)×R²
    abs(-0.23469906--0.23474700)×1.80690832738417e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.80690832738417e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.80690832738417e-05×40589641000000     		ar = 15990.5705896421m²