Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60638 / 41271
↖ ↑ ↗
← N 55.293192°
W 13.452759°		 ← 173.87 m → N 55.293192°
W 13.450012°		 →
↑
173.86 m
↓
↑
173.86 m
↓
N 55.291629°
W 13.452759°		 ← 173.87 m →
30 230 m²		 N 55.291629°
W 13.450012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462635040283203 y=0.314876556396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462635040283203 × 217)
    floor (0.462635040283203 × 131072)
    floor (60638.5)     		tx = 60638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314876556396484 × 217)
    floor (0.314876556396484 × 131072)
    floor (41271.5)     		ty = 41271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60638 / 41271 ti = "17/60638/41271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60638/41271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60638 ÷ 217
    60638 ÷ 131072     		x = 0.462631225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41271 ÷ 217
    41271 ÷ 131072     		y = 0.314872741699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462631225585938 × 2 - 1) × π
    -0.074737548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23479493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314872741699219 × 2 - 1) × π
    0.370254516601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.16318886928066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23479493} λ = -0.23479493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16318886928066))-π/2
    2×atan(3.20012179263761)-π/2
    2×1.26792229368814-π/2
    2.53584458737627-1.57079632675     		φ = 0.96504826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23479493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.452759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96504826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.293192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60638 KachelY 41271 -0.23479493 0.96504826 -13.452759 55.293192
    Oben rechts KachelX + 1 60639 KachelY 41271 -0.23474700 0.96504826 -13.450012 55.293192
    Unten links KachelX 60638 KachelY + 1 41272 -0.23479493 0.96502097 -13.452759 55.291629
    Unten rechts KachelX + 1 60639 KachelY + 1 41272 -0.23474700 0.96502097 -13.450012 55.291629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96504826-0.96502097) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dl = 173.864590000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96504826-0.96502097) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dr = 173.864590000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23479493--0.23474700) × cos(0.96504826) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.569377203568747 × 6371000     		do = 173.866178717481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23479493--0.23474700) × cos(0.96502097) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.569399637821557 × 6371000     		du = 173.873029286461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96504826)-sin(0.96502097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569377203568747-0.569399637821557)×R²
    abs(-0.23474700--0.23479493)×2.24342528105659e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.24342528105659e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.24342528105659e-05×40589641000000     		ar = 30229.767415068m²