Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60638 / 40598
↖ ↑ ↗
← N 56.331767°
W 13.452759°		 ← 169.29 m → N 56.331767°
W 13.450012°		 →
↑
169.34 m
↓
↑
169.34 m
↓
N 56.330244°
W 13.452759°		 ← 169.29 m →
28 668 m²		 N 56.330244°
W 13.450012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462635040283203 y=0.309741973876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462635040283203 × 217)
    floor (0.462635040283203 × 131072)
    floor (60638.5)     		tx = 60638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309741973876953 × 217)
    floor (0.309741973876953 × 131072)
    floor (40598.5)     		ty = 40598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60638 / 40598 ti = "17/60638/40598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60638/40598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60638 ÷ 217
    60638 ÷ 131072     		x = 0.462631225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40598 ÷ 217
    40598 ÷ 131072     		y = 0.309738159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462631225585938 × 2 - 1) × π
    -0.074737548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23479493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309738159179688 × 2 - 1) × π
    0.380523681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19545040272496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23479493} λ = -0.23479493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19545040272496))-π/2
    2×atan(3.30504603705807)-π/2
    2×1.27698556148813-π/2
    2.55397112297626-1.57079632675     		φ = 0.98317480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23479493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.452759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98317480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.331767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60638 KachelY 40598 -0.23479493 0.98317480 -13.452759 56.331767
    Oben rechts KachelX + 1 60639 KachelY 40598 -0.23474700 0.98317480 -13.450012 56.331767
    Unten links KachelX 60638 KachelY + 1 40599 -0.23479493 0.98314822 -13.452759 56.330244
    Unten rechts KachelX + 1 60639 KachelY + 1 40599 -0.23474700 0.98314822 -13.450012 56.330244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98317480-0.98314822) × R
    2.65799999999983e-05 × 6371000     		dl = 169.341179999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98317480-0.98314822) × R
    2.65799999999983e-05 × 6371000     		dr = 169.341179999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23479493--0.23474700) × cos(0.98317480) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.554383080932038 × 6371000     		do = 169.287542991067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23479493--0.23474700) × cos(0.98314822) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.554405202249988 × 6371000     		du = 169.294298001622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98317480)-sin(0.98314822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554383080932038-0.554405202249988)×R²
    abs(-0.23474700--0.23479493)×2.21213179495416e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21213179495416e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21213179495416e-05×40589641000000     		ar = 28667.9242419389m²