Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60638 / 33629
↖ ↑ ↗
← N 65.552777°
W 13.452759°		 ← 126.38 m → N 65.552777°
W 13.450012°		 →
↑
126.40 m
↓
↑
126.40 m
↓
N 65.551640°
W 13.452759°		 ← 126.38 m →
15 974 m²		 N 65.551640°
W 13.450012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462635040283203 y=0.256572723388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462635040283203 × 217)
    floor (0.462635040283203 × 131072)
    floor (60638.5)     		tx = 60638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256572723388672 × 217)
    floor (0.256572723388672 × 131072)
    floor (33629.5)     		ty = 33629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60638 / 33629 ti = "17/60638/33629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60638/33629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60638 ÷ 217
    60638 ÷ 131072     		x = 0.462631225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33629 ÷ 217
    33629 ÷ 131072     		y = 0.256568908691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462631225585938 × 2 - 1) × π
    -0.074737548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23479493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256568908691406 × 2 - 1) × π
    0.486862182617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.52952265617713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23479493} λ = -0.23479493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52952265617713))-π/2
    2×atan(4.61597289017928)-π/2
    2×1.35745405936798-π/2
    2.71490811873596-1.57079632675     		φ = 1.14411179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23479493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.452759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14411179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.552777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60638 KachelY 33629 -0.23479493 1.14411179 -13.452759 65.552777
    Oben rechts KachelX + 1 60639 KachelY 33629 -0.23474700 1.14411179 -13.450012 65.552777
    Unten links KachelX 60638 KachelY + 1 33630 -0.23479493 1.14409195 -13.452759 65.551640
    Unten rechts KachelX + 1 60639 KachelY + 1 33630 -0.23474700 1.14409195 -13.450012 65.551640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14411179-1.14409195) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dl = 126.400639999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14411179-1.14409195) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dr = 126.400639999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23479493--0.23474700) × cos(1.14411179) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.41385487427102 × 6371000     		do = 126.375564532798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23479493--0.23474700) × cos(1.14409195) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.41387293539213 × 6371000     		du = 126.381079713404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14411179)-sin(1.14409195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41385487427102-0.41387293539213)×R²
    abs(-0.23474700--0.23479493)×1.80611211103576e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.80611211103576e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.80611211103576e-05×40589641000000     		ar = 15974.3007990397m²