Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60637 / 40229
↖ ↑ ↗
← N 56.889503°
W 13.455505°		 ← 166.84 m → N 56.889503°
W 13.452759°		 →
↑
166.86 m
↓
↑
166.86 m
↓
N 56.888003°
W 13.455505°		 ← 166.85 m →
27 839 m²		 N 56.888003°
W 13.452759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462627410888672 y=0.306926727294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462627410888672 × 217)
    floor (0.462627410888672 × 131072)
    floor (60637.5)     		tx = 60637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306926727294922 × 217)
    floor (0.306926727294922 × 131072)
    floor (40229.5)     		ty = 40229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60637 / 40229 ti = "17/60637/40229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60637/40229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60637 ÷ 217
    60637 ÷ 131072     		x = 0.462623596191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40229 ÷ 217
    40229 ÷ 131072     		y = 0.306922912597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462623596191406 × 2 - 1) × π
    -0.0747528076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23484287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306922912597656 × 2 - 1) × π
    0.386154174804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.21313911868476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23484287} λ = -0.23484287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21313911868476))-π/2
    2×atan(3.36402817891316)-π/2
    2×1.2818527319533-π/2
    2.56370546390661-1.57079632675     		φ = 0.99290914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23484287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.455505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99290914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.889503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60637 KachelY 40229 -0.23484287 0.99290914 -13.455505 56.889503
    Oben rechts KachelX + 1 60638 KachelY 40229 -0.23479493 0.99290914 -13.452759 56.889503
    Unten links KachelX 60637 KachelY + 1 40230 -0.23484287 0.99288295 -13.455505 56.888003
    Unten rechts KachelX + 1 60638 KachelY + 1 40230 -0.23479493 0.99288295 -13.452759 56.888003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99290914-0.99288295) × R
    2.6189999999926e-05 × 6371000     		dl = 166.856489999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99290914-0.99288295) × R
    2.6189999999926e-05 × 6371000     		dr = 166.856489999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23484287--0.23479493) × cos(0.99290914) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546255425591021 × 6371000     		do = 166.84046759014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23484287--0.23479493) × cos(0.99288295) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546277362636232 × 6371000     		du = 166.847167728407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99290914)-sin(0.99288295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546255425591021-0.546277362636232)×R²
    abs(-0.23479493--0.23484287)×2.19370452105849e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19370452105849e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19370452105849e-05×40589641000000     		ar = 27838.9737943994m²