Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60637 / 40029
↖ ↑ ↗
← N 57.188367°
W 13.455505°		 ← 165.50 m → N 57.188367°
W 13.452759°		 →
↑
165.52 m
↓
↑
165.52 m
↓
N 57.186879°
W 13.455505°		 ← 165.51 m →
27 394 m²		 N 57.186879°
W 13.452759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462627410888672 y=0.305400848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462627410888672 × 217)
    floor (0.462627410888672 × 131072)
    floor (60637.5)     		tx = 60637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305400848388672 × 217)
    floor (0.305400848388672 × 131072)
    floor (40029.5)     		ty = 40029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60637 / 40029 ti = "17/60637/40029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60637/40029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60637 ÷ 217
    60637 ÷ 131072     		x = 0.462623596191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40029 ÷ 217
    40029 ÷ 131072     		y = 0.305397033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462623596191406 × 2 - 1) × π
    -0.0747528076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23484287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305397033691406 × 2 - 1) × π
    0.389205932617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.22272649860877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23484287} λ = -0.23484287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22272649860877))-π/2
    2×atan(3.39643549754361)-π/2
    2×1.28446081301409-π/2
    2.56892162602818-1.57079632675     		φ = 0.99812530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23484287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.455505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99812530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.188367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60637 KachelY 40029 -0.23484287 0.99812530 -13.455505 57.188367
    Oben rechts KachelX + 1 60638 KachelY 40029 -0.23479493 0.99812530 -13.452759 57.188367
    Unten links KachelX 60637 KachelY + 1 40030 -0.23484287 0.99809932 -13.455505 57.186879
    Unten rechts KachelX + 1 60638 KachelY + 1 40030 -0.23479493 0.99809932 -13.452759 57.186879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99812530-0.99809932) × R
    2.5979999999981e-05 × 6371000     		dl = 165.518579999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99812530-0.99809932) × R
    2.5979999999981e-05 × 6371000     		dr = 165.518579999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23484287--0.23479493) × cos(0.99812530) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541878861153362 × 6371000     		do = 165.50375215811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23484287--0.23479493) × cos(0.99809932) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541900696033006 × 6371000     		du = 165.510421092383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99812530)-sin(0.99809932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541878861153362-0.541900696033006)×R²
    abs(-0.23479493--0.23484287)×2.18348796439116e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18348796439116e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18348796439116e-05×40589641000000     		ar = 27394.4979596373m²