Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60636 / 40876
↖ ↑ ↗
← N 55.906115°
W 13.458252°		 ← 171.21 m → N 55.906115°
W 13.455505°		 →
↑
171.19 m
↓
↑
171.19 m
↓
N 55.904576°
W 13.458252°		 ← 171.21 m →
29 309 m²		 N 55.904576°
W 13.455505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462619781494141 y=0.311862945556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462619781494141 × 217)
    floor (0.462619781494141 × 131072)
    floor (60636.5)     		tx = 60636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311862945556641 × 217)
    floor (0.311862945556641 × 131072)
    floor (40876.5)     		ty = 40876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60636 / 40876 ti = "17/60636/40876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60636/40876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60636 ÷ 217
    60636 ÷ 131072     		x = 0.462615966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40876 ÷ 217
    40876 ÷ 131072     		y = 0.311859130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462615966796875 × 2 - 1) × π
    -0.07476806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23489081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311859130859375 × 2 - 1) × π
    0.37628173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18212394463058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23489081} λ = -0.23489081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18212394463058))-π/2
    2×atan(3.2612936591736)-π/2
    2×1.27327105298927-π/2
    2.54654210597854-1.57079632675     		φ = 0.97574578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23489081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.458252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97574578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.906115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60636 KachelY 40876 -0.23489081 0.97574578 -13.458252 55.906115
    Oben rechts KachelX + 1 60637 KachelY 40876 -0.23484287 0.97574578 -13.455505 55.906115
    Unten links KachelX 60636 KachelY + 1 40877 -0.23489081 0.97571891 -13.458252 55.904576
    Unten rechts KachelX + 1 60637 KachelY + 1 40877 -0.23484287 0.97571891 -13.455505 55.904576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97574578-0.97571891) × R
    2.68700000000122e-05 × 6371000     		dl = 171.188770000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97574578-0.97571891) × R
    2.68700000000122e-05 × 6371000     		dr = 171.188770000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23489081--0.23484287) × cos(0.97574578) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.560550614034997 × 6371000     		do = 171.20658609908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23489081--0.23484287) × cos(0.97571891) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.560572865421493 × 6371000     		du = 171.213382245267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97574578)-sin(0.97571891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560550614034997-0.560572865421493)×R²
    abs(-0.23484287--0.23489081)×2.22513864961416e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22513864961416e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22513864961416e-05×40589641000000     		ar = 29309.2266039716m²