Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60635 / 41263
↖ ↑ ↗
← N 55.305701°
W 13.460999°		 ← 173.85 m → N 55.305701°
W 13.458252°		 →
↑
173.86 m
↓
↑
173.86 m
↓
N 55.304138°
W 13.460999°		 ← 173.85 m →
30 227 m²		 N 55.304138°
W 13.458252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462612152099609 y=0.314815521240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462612152099609 × 217)
    floor (0.462612152099609 × 131072)
    floor (60635.5)     		tx = 60635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314815521240234 × 217)
    floor (0.314815521240234 × 131072)
    floor (41263.5)     		ty = 41263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60635 / 41263 ti = "17/60635/41263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60635/41263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60635 ÷ 217
    60635 ÷ 131072     		x = 0.462608337402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41263 ÷ 217
    41263 ÷ 131072     		y = 0.314811706542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462608337402344 × 2 - 1) × π
    -0.0747833251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23493875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314811706542969 × 2 - 1) × π
    0.370376586914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.16357236447762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23493875} λ = -0.23493875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16357236447762))-π/2
    2×atan(3.20134925932352)-π/2
    2×1.26803145319075-π/2
    2.53606290638149-1.57079632675     		φ = 0.96526658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23493875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.460999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96526658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.305701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60635 KachelY 41263 -0.23493875 0.96526658 -13.460999 55.305701
    Oben rechts KachelX + 1 60636 KachelY 41263 -0.23489081 0.96526658 -13.458252 55.305701
    Unten links KachelX 60635 KachelY + 1 41264 -0.23493875 0.96523929 -13.460999 55.304138
    Unten rechts KachelX + 1 60636 KachelY + 1 41264 -0.23489081 0.96523929 -13.458252 55.304138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96526658-0.96523929) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dl = 173.864590000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96526658-0.96523929) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dr = 173.864590000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23493875--0.23489081) × cos(0.96526658) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.569197714282214 × 6371000     		do = 173.847633090941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23493875--0.23489081) × cos(0.96523929) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.56922015192688 × 6371000     		du = 173.854486125166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96526658)-sin(0.96523929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569197714282214-0.56922015192688)×R²
    abs(-0.23489081--0.23493875)×2.24376446652519e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24376446652519e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24376446652519e-05×40589641000000     		ar = 30226.5432015444m²