Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60635 / 33615
↖ ↑ ↗
← N 65.568686°
W 13.460999°		 ← 126.32 m → N 65.568686°
W 13.458252°		 →
↑
126.34 m
↓
↑
126.34 m
↓
N 65.567549°
W 13.460999°		 ← 126.33 m →
15 960 m²		 N 65.567549°
W 13.458252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462612152099609 y=0.256465911865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462612152099609 × 217)
    floor (0.462612152099609 × 131072)
    floor (60635.5)     		tx = 60635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256465911865234 × 217)
    floor (0.256465911865234 × 131072)
    floor (33615.5)     		ty = 33615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60635 / 33615 ti = "17/60635/33615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60635/33615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60635 ÷ 217
    60635 ÷ 131072     		x = 0.462608337402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33615 ÷ 217
    33615 ÷ 131072     		y = 0.256462097167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462608337402344 × 2 - 1) × π
    -0.0747833251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23493875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256462097167969 × 2 - 1) × π
    0.487075805664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.53019377277181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23493875} λ = -0.23493875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53019377277181))-π/2
    2×atan(4.61907178593035)-π/2
    2×1.3575928893894-π/2
    2.71518577877881-1.57079632675     		φ = 1.14438945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23493875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.460999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14438945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.568686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60635 KachelY 33615 -0.23493875 1.14438945 -13.460999 65.568686
    Oben rechts KachelX + 1 60636 KachelY 33615 -0.23489081 1.14438945 -13.458252 65.568686
    Unten links KachelX 60635 KachelY + 1 33616 -0.23493875 1.14436962 -13.460999 65.567549
    Unten rechts KachelX + 1 60636 KachelY + 1 33616 -0.23489081 1.14436962 -13.458252 65.567549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14438945-1.14436962) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dl = 126.336930000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14438945-1.14436962) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dr = 126.336930000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23493875--0.23489081) × cos(1.14438945) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.41360209251958 × 6371000     		do = 126.324725173331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23493875--0.23489081) × cos(1.14436962) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.413620146815381 × 6371000     		du = 126.330239419987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14438945)-sin(1.14436962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41360209251958-0.413620146815381)×R²
    abs(-0.23489081--0.23493875)×1.80542958016505e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80542958016505e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80542958016505e-05×40589641000000     		ar = 15959.8262884795m²