Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60632 / 78930
↖ ↑ ↗
← S 34.492975°
W 13.469239°		 ← 251.73 m → S 34.492975°
W 13.466492°		 →
↑
251.72 m
↓
↑
251.72 m
↓
S 34.495239°
W 13.469239°		 ← 251.72 m →
63 364 m²		 S 34.495239°
W 13.466492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462589263916016 y=0.602191925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462589263916016 × 217)
    floor (0.462589263916016 × 131072)
    floor (60632.5)     		tx = 60632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602191925048828 × 217)
    floor (0.602191925048828 × 131072)
    floor (78930.5)     		ty = 78930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60632 / 78930 ti = "17/60632/78930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60632/78930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60632 ÷ 217
    60632 ÷ 131072     		x = 0.46258544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78930 ÷ 217
    78930 ÷ 131072     		y = 0.602188110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46258544921875 × 2 - 1) × π
    -0.0748291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23508256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602188110351562 × 2 - 1) × π
    -0.204376220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.642066833511032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23508256} λ = -0.23508256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.642066833511032))-π/2
    2×atan(0.526203723859494)-π/2
    2×0.484390168613477-π/2
    0.968780337226954-1.57079632675     		φ = -0.60201599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23508256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.469239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60201599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.492975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60632 KachelY 78930 -0.23508256 -0.60201599 -13.469239 -34.492975
    Oben rechts KachelX + 1 60633 KachelY 78930 -0.23503462 -0.60201599 -13.466492 -34.492975
    Unten links KachelX 60632 KachelY + 1 78931 -0.23508256 -0.60205550 -13.469239 -34.495239
    Unten rechts KachelX + 1 60633 KachelY + 1 78931 -0.23503462 -0.60205550 -13.466492 -34.495239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60201599--0.60205550) × R
    3.95100000000204e-05 × 6371000     		dl = 251.71821000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60201599--0.60205550) × R
    3.95100000000204e-05 × 6371000     		dr = 251.71821000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23508256--0.23503462) × cos(-0.60201599) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.824195624930391 × 6371000     		do = 251.730558649108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23508256--0.23503462) × cos(-0.60205550) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.824173249568913 × 6371000     		du = 251.72372463777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60201599)-sin(-0.60205550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824195624930391-0.824173249568913)×R²
    abs(-0.23503462--0.23508256)×2.23753614787547e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23753614787547e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23753614787547e-05×40589641000000     		ar = 63364.3055112041m²