Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60631 / 33603
↖ ↑ ↗
← N 65.582314°
W 13.471985°		 ← 126.23 m → N 65.582314°
W 13.469239°		 →
↑
126.27 m
↓
↑
126.27 m
↓
N 65.581178°
W 13.471985°		 ← 126.24 m →
15 940 m²		 N 65.581178°
W 13.469239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462581634521484 y=0.256374359130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462581634521484 × 217)
    floor (0.462581634521484 × 131072)
    floor (60631.5)     		tx = 60631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256374359130859 × 217)
    floor (0.256374359130859 × 131072)
    floor (33603.5)     		ty = 33603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60631 / 33603 ti = "17/60631/33603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60631/33603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60631 ÷ 217
    60631 ÷ 131072     		x = 0.462577819824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33603 ÷ 217
    33603 ÷ 131072     		y = 0.256370544433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462577819824219 × 2 - 1) × π
    -0.0748443603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23513049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256370544433594 × 2 - 1) × π
    0.487258911132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.53076901556725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23513049} λ = -0.23513049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53076901556725))-π/2
    2×atan(4.62172963807869)-π/2
    2×1.35771181905322-π/2
    2.71542363810645-1.57079632675     		φ = 1.14462731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23513049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.471985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14462731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.582314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60631 KachelY 33603 -0.23513049 1.14462731 -13.471985 65.582314
    Oben rechts KachelX + 1 60632 KachelY 33603 -0.23508256 1.14462731 -13.469239 65.582314
    Unten links KachelX 60631 KachelY + 1 33604 -0.23513049 1.14460749 -13.471985 65.581178
    Unten rechts KachelX + 1 60632 KachelY + 1 33604 -0.23508256 1.14460749 -13.469239 65.581178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14462731-1.14460749) × R
    1.98199999998927e-05 × 6371000     		dl = 126.273219999316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14462731-1.14460749) × R
    1.98199999998927e-05 × 6371000     		dr = 126.273219999316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23513049--0.23508256) × cos(1.14462731) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.41338551934166 × 6371000     		do = 126.232241358778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23513049--0.23508256) × cos(1.14460749) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.413403566482378 × 6371000     		du = 126.237752270303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14462731)-sin(1.14460749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41338551934166-0.413403566482378)×R²
    abs(-0.23508256--0.23513049)×1.80471407176253e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.80471407176253e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.80471407176253e-05×40589641000000     		ar = 15940.0995248434m²