Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60629 / 84381
↖ ↑ ↗
← S 45.884273°
W 13.477478°		 ← 212.61 m → S 45.884273°
W 13.474731°		 →
↑
212.60 m
↓
↑
212.60 m
↓
S 45.886184°
W 13.477478°		 ← 212.60 m →
45 200 m²		 S 45.886184°
W 13.474731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462566375732422 y=0.643779754638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462566375732422 × 217)
    floor (0.462566375732422 × 131072)
    floor (60629.5)     		tx = 60629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643779754638672 × 217)
    floor (0.643779754638672 × 131072)
    floor (84381.5)     		ty = 84381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60629 / 84381 ti = "17/60629/84381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60629/84381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60629 ÷ 217
    60629 ÷ 131072     		x = 0.462562561035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84381 ÷ 217
    84381 ÷ 131072     		y = 0.643775939941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462562561035156 × 2 - 1) × π
    -0.0748748779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23522637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643775939941406 × 2 - 1) × π
    -0.287551879882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.903370873339958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23522637} λ = -0.23522637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903370873339958))-π/2
    2×atan(0.405201472202726)-π/2
    2×0.384982346779605-π/2
    0.769964693559211-1.57079632675     		φ = -0.80083163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23522637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.477478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80083163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.884273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60629 KachelY 84381 -0.23522637 -0.80083163 -13.477478 -45.884273
    Oben rechts KachelX + 1 60630 KachelY 84381 -0.23517843 -0.80083163 -13.474731 -45.884273
    Unten links KachelX 60629 KachelY + 1 84382 -0.23522637 -0.80086500 -13.477478 -45.886184
    Unten rechts KachelX + 1 60630 KachelY + 1 84382 -0.23517843 -0.80086500 -13.474731 -45.886184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80083163--0.80086500) × R
    3.33700000000325e-05 × 6371000     		dl = 212.600270000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80083163--0.80086500) × R
    3.33700000000325e-05 × 6371000     		dr = 212.600270000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23522637--0.23517843) × cos(-0.80083163) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.696109893645944 × 6371000     		do = 212.609879388118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23522637--0.23517843) × cos(-0.80086500) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.696085935759245 × 6371000     		du = 212.602562032844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80083163)-sin(-0.80086500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696109893645944-0.696085935759245)×R²
    abs(-0.23517843--0.23522637)×2.39578866991774e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39578866991774e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39578866991774e-05×40589641000000     		ar = 45200.1399309306m²