Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60629 / 33610
↖ ↑ ↗
← N 65.574365°
W 13.477478°		 ← 126.30 m → N 65.574365°
W 13.474731°		 →
↑
126.34 m
↓
↑
126.34 m
↓
N 65.573229°
W 13.477478°		 ← 126.30 m →
15 956 m²		 N 65.573229°
W 13.474731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462566375732422 y=0.256427764892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462566375732422 × 217)
    floor (0.462566375732422 × 131072)
    floor (60629.5)     		tx = 60629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256427764892578 × 217)
    floor (0.256427764892578 × 131072)
    floor (33610.5)     		ty = 33610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60629 / 33610 ti = "17/60629/33610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60629/33610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60629 ÷ 217
    60629 ÷ 131072     		x = 0.462562561035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33610 ÷ 217
    33610 ÷ 131072     		y = 0.256423950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462562561035156 × 2 - 1) × π
    -0.0748748779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23522637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256423950195312 × 2 - 1) × π
    0.487152099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.53043345726991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23522637} λ = -0.23522637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53043345726991))-π/2
    2×atan(4.62017903852339)-π/2
    2×1.35764245098616-π/2
    2.71528490197232-1.57079632675     		φ = 1.14448858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23522637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.477478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14448858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.574365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60629 KachelY 33610 -0.23522637 1.14448858 -13.477478 65.574365
    Oben rechts KachelX + 1 60630 KachelY 33610 -0.23517843 1.14448858 -13.474731 65.574365
    Unten links KachelX 60629 KachelY + 1 33611 -0.23522637 1.14446875 -13.477478 65.573229
    Unten rechts KachelX + 1 60630 KachelY + 1 33611 -0.23517843 1.14446875 -13.474731 65.573229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14448858-1.14446875) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dl = 126.336930000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14448858-1.14446875) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dr = 126.336930000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23522637--0.23517843) × cos(1.14448858) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.413511836811084 × 6371000     		do = 126.297158756775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23522637--0.23517843) × cos(1.14446875) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.413529891919852 × 6371000     		du = 126.302673251731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14448858)-sin(1.14446875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413511836811084-0.413529891919852)×R²
    abs(-0.23517843--0.23522637)×1.80551087681224e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80551087681224e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80551087681224e-05×40589641000000     		ar = 15956.3436478782m²