Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60628 / 84380
↖ ↑ ↗
← S 45.882361°
W 13.480224°		 ← 212.57 m → S 45.882361°
W 13.477478°		 →
↑
212.60 m
↓
↑
212.60 m
↓
S 45.884273°
W 13.480224°		 ← 212.57 m →
45 192 m²		 S 45.884273°
W 13.477478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462558746337891 y=0.643772125244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462558746337891 × 217)
    floor (0.462558746337891 × 131072)
    floor (60628.5)     		tx = 60628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643772125244141 × 217)
    floor (0.643772125244141 × 131072)
    floor (84380.5)     		ty = 84380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60628 / 84380 ti = "17/60628/84380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60628/84380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60628 ÷ 217
    60628 ÷ 131072     		x = 0.462554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84380 ÷ 217
    84380 ÷ 131072     		y = 0.643768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.07489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23527430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.28753662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.903322936440338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23527430} λ = -0.23527430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903322936440338))-π/2
    2×atan(0.405220896770598)-π/2
    2×0.384999031741705-π/2
    0.769998063483409-1.57079632675     		φ = -0.80079826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23527430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.480224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80079826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.882361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60628 KachelY 84380 -0.23527430 -0.80079826 -13.480224 -45.882361
    Oben rechts KachelX + 1 60629 KachelY 84380 -0.23522637 -0.80079826 -13.477478 -45.882361
    Unten links KachelX 60628 KachelY + 1 84381 -0.23527430 -0.80083163 -13.480224 -45.884273
    Unten rechts KachelX + 1 60629 KachelY + 1 84381 -0.23522637 -0.80083163 -13.477478 -45.884273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80079826--0.80083163) × R
    3.33700000000325e-05 × 6371000     		dl = 212.600270000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80079826--0.80083163) × R
    3.33700000000325e-05 × 6371000     		dr = 212.600270000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23527430--0.23522637) × cos(-0.80079826) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.696133850757486 × 6371000     		do = 212.57284581903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23527430--0.23522637) × cos(-0.80083163) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.696109893645944 × 6371000     		du = 212.565530226817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80079826)-sin(-0.80083163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696133850757486-0.696109893645944)×R²
    abs(-0.23522637--0.23527430)×2.39571115412396e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39571115412396e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39571115412396e-05×40589641000000     		ar = 45192.2667715045m²