Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60628 / 33020
↖ ↑ ↗
← N 66.235885°
W 13.480224°		 ← 123.05 m → N 66.235885°
W 13.477478°		 →
↑
123.09 m
↓
↑
123.09 m
↓
N 66.234778°
W 13.480224°		 ← 123.06 m →
15 147 m²		 N 66.234778°
W 13.477478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462558746337891 y=0.251926422119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462558746337891 × 217)
    floor (0.462558746337891 × 131072)
    floor (60628.5)     		tx = 60628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251926422119141 × 217)
    floor (0.251926422119141 × 131072)
    floor (33020.5)     		ty = 33020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60628 / 33020 ti = "17/60628/33020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60628/33020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60628 ÷ 217
    60628 ÷ 131072     		x = 0.462554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33020 ÷ 217
    33020 ÷ 131072     		y = 0.251922607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.07489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23527430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251922607421875 × 2 - 1) × π
    0.49615478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.55871622804575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23527430} λ = -0.23527430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55871622804575))-π/2
    2×atan(4.75271592364679)-π/2
    2×1.36341530194954-π/2
    2.72683060389909-1.57079632675     		φ = 1.15603428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23527430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.480224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15603428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.235885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60628 KachelY 33020 -0.23527430 1.15603428 -13.480224 66.235885
    Oben rechts KachelX + 1 60629 KachelY 33020 -0.23522637 1.15603428 -13.477478 66.235885
    Unten links KachelX 60628 KachelY + 1 33021 -0.23527430 1.15601496 -13.480224 66.234778
    Unten rechts KachelX + 1 60629 KachelY + 1 33021 -0.23522637 1.15601496 -13.477478 66.234778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15603428-1.15601496) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dl = 123.087720000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15603428-1.15601496) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dr = 123.087720000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23527430--0.23522637) × cos(1.15603428) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.402972164111522 × 6371000     		do = 123.052398066592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23527430--0.23522637) × cos(1.15601496) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.402989845936693 × 6371000     		du = 123.05779742462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15603428)-sin(1.15601496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402972164111522-0.402989845936693)×R²
    abs(-0.23522637--0.23527430)×1.76818251704791e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.76818251704791e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.76818251704791e-05×40589641000000     		ar = 15146.5714165249m²